Номер 5.49, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.49. На сторонах квадрата ABCD отмечены точки M, N, P и Q так, что $MP = NQ$ (рис. 5.17). Докажите, что $MP \perp NQ$.

Рис. 5.17

5.49. На сторонах квадрата $ABCD$ отмечены точки $M, N, P$ и $Q$ так, что $MP=NQ$ (рис. 5.17). Докажите, что на рисунке 5.17 $MP \perp NQ$.

Рис. 5.17

Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть квадрат $ABCD$ расположен в системе координат так, что его вершины имеют координаты $A(0, 0)$, $B(0, a)$, $C(a, a)$ и $D(a, 0)$, где $a$ – длина стороны квадрата.

Согласно рисунку 5.17, точки $M, N, P, Q$ расположены на сторонах $AB, BC, CD, AD$ соответственно. Зададим их координаты:

• Точка $M$ лежит на стороне $AB$ (ось $Oy$), поэтому ее координаты $M(0, m)$, где $m = AM$.
• Точка $N$ лежит на стороне $BC$ (прямая $y=a$), поэтому ее координаты $N(n, a)$, где $n = BN$.
• Точка $P$ лежит на стороне $CD$ (прямая $x=a$), поэтому ее координаты $P(a, p)$, где $p = DP$.
• Точка $Q$ лежит на стороне $AD$ (ось $Ox$), поэтому ее координаты $Q(q, 0)$, где $q = AQ$.

По условию задачи, длины отрезков $MP$ и $NQ$ равны: $MP = NQ$. Выразим квадраты длин этих отрезков через координаты их концов:

$MP^2 = (x_P - x_M)^2 + (y_P - y_M)^2 = (a - 0)^2 + (p - m)^2 = a^2 + (p - m)^2$.

$NQ^2 = (x_Q - x_N)^2 + (y_Q - y_N)^2 = (q - n)^2 + (0 - a)^2 = (q - n)^2 + a^2$.

Так как $MP = NQ$, то и $MP^2 = NQ^2$. Отсюда получаем:

$a^2 + (p - m)^2 = (q - n)^2 + a^2$

$(p - m)^2 = (q - n)^2$

Это означает, что $|p - m| = |q - n|$.

Теперь найдем условие перпендикулярности отрезков $MP$ и $NQ$. Два отрезка перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов (наклонов) равно $-1$.

Угловой коэффициент отрезка $MP$:$k_{MP} = \frac{y_P - y_M}{x_P - x_M} = \frac{p - m}{a - 0} = \frac{p - m}{a}$.

Угловой коэффициент отрезка $NQ$:$k_{NQ} = \frac{y_Q - y_N}{x_Q - x_N} = \frac{0 - a}{q - n} = \frac{-a}{q - n}$.

Условие перпендикулярности $MP \perp NQ$ выглядит так: $k_{MP} \cdot k_{NQ} = -1$.

$(\frac{p - m}{a}) \cdot (\frac{-a}{q - n}) = -1$

$\frac{-(p - m)}{q - n} = -1$

$p - m = q - n$.

Теперь обратимся к рисунку 5.17.

• Отрезок $MP$ идет "вправо и вверх", следовательно, его угловой коэффициент положителен: $k_{MP} > 0$. Так как $a > 0$, из формулы $k_{MP} = \frac{p - m}{a}$ следует, что $p - m > 0$.
• Отрезок $NQ$ идет "влево и вниз". Это означает, что при движении от $N$ к $Q$ координата $x$ уменьшается (с $n$ до $q$), а координата $y$ уменьшается (с $a$ до $0$). Его угловой коэффициент $k_{NQ} = \frac{-a}{q-n}$ должен быть положительным (так как линия наклонена вправо-вверх, если смотреть на нее как на прямую). Следовательно, знаменатель $q-n$ должен быть отрицательным. Однако, если смотреть на наклон отрезка, идущего из точки $N(n,a)$ в точку $Q(q,0)$, то он идет "вниз и влево", т.е. его наклон положительный. $k_{NQ}>0$. Так как числитель $-a$ отрицательный, знаменатель $q-n$ также должен быть отрицательным, то есть $q < n$. Но на рисунке точка Q правее точки N по горизонтали, то есть $q > n$. Давайте пересмотрим анализ рисунка. $N$ находится на стороне $BC$, $Q$ - на $AD$. Визуально $N$ левее $Q$, т.е. $n<q$. Значит $q-n>0$. Тогда $k_{NQ} = \frac{-a}{q-n}$ будет отрицательным. Это соответствует наклону "вправо и вниз".

Итак, из рисунка 5.17 видно:

1. Наклон $MP$ положителен ($k_{MP} > 0$), что означает $p - m > 0$.
2. Наклон $NQ$ отрицателен ($k_{NQ} < 0$), что означает $q - n > 0$.

Мы установили, что $p-m$ и $q-n$ — положительные величины.

Из равенства длин отрезков мы получили $|p - m| = |q - n|$. Поскольку обе части $p - m$ и $q - n$ положительны, мы можем убрать модули, и равенство примет вид:

$p - m = q - n$.

Это в точности совпадает с условием перпендикулярности отрезков $MP$ и $NQ$. Таким образом, доказано, что $MP \perp NQ$.

Ответ: Утверждение доказано.