Номер 5.42, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.42. Даны точки $A$, $B$ и $M$. Постройте ромб $ABCD$, если известно расстояние от точки $M$ до точки $K$ — середины стороны $CD$.

5.42. Даны точки $A$, $B$ и $M$. Постройте ромб $ABCD$, если известно расстояние от точки $M$ до точки $K$ — середины стороны $CD$.

Анализ

Пусть искомый ромб $ABCD$ построен. Точки $A$ и $B$ заданы, следовательно, сторона ромба и ее длина $|AB|$ определены. Все стороны ромба равны, т.е. $|AB| = |BC| = |CD| = |DA|$. В ромбе (как и в любом параллелограмме) противоположные стороны параллельны, поэтому $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть $P$ — середина стороны $AB$, а $K$ — середина стороны $CD$. Точка $P$ может быть построена, так как точки $A$ и $B$ известны. Точка $K$ удовлетворяет двум условиям:

1. Расстояние от точки $M$ до точки $K$ равно заданному расстоянию. Обозначим это расстояние как $r$. Это означает, что точка $K$ лежит на окружности с центром в точке $M$ и радиусом $r$.

2. Рассмотрим связь между точками $P$ и $K$. Вектор $\vec{PK}$ можно выразить через векторы сторон. Так как $P$ — середина $AB$ и $K$ — середина $CD$, то $\vec{PK} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, $\vec{AD} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{PK} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BC}$.

Из этого следует, что длина отрезка $PK$ равна длине стороны $BC$. А так как $ABCD$ — ромб, то $|BC|=|AB|$. Таким образом, $|PK| = |AB|$. Это означает, что точка $K$ лежит на окружности с центром в точке $P$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$.

Итак, точка $K$ является точкой пересечения двух окружностей: окружности с центром $M$ и радиусом $r$ и окружности с центром $P$ (серединой $AB$) и радиусом $|AB|$.

После того как точка $K$ найдена, можно построить ромб. Мы знаем, что $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{PK}$. Следовательно, вершину $C$ можно получить параллельным переносом точки $B$ на вектор $\vec{PK}$, а вершину $D$ — параллельным переносом точки $A$ на тот же вектор $\vec{PK}$.

Построение

Пусть заданное расстояние от $M$ до $K$ равно $r$.

1. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.
2. Строим точку $P$ — середину отрезка $AB$.
3. Строим окружность $\omega_1$ с центром в точке $P$ и радиусом $R_1 = |AB|$.
4. Строим окружность $\omega_2$ с центром в точке $M$ и радиусом $R_2 = r$.
5. Находим точки пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Эти точки являются возможными положениями для точки $K$. В зависимости от расположения точек и длин радиусов, таких точек может быть ноль, одна или две.
6. Для каждой найденной точки пересечения $K$:
   • Строим вектор $\vec{v} = \vec{PK}$.
   • Строим точку $C$ путем параллельного переноса точки $B$ на вектор $\vec{v}$.
   • Строим точку $D$ путем параллельного переноса точки $A$ на вектор $\vec{v}$.
7. Соединяем точки $A, B, C, D$ последовательно. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Доказательство

Пусть четырехугольник $ABCD$ построен согласно описанному алгоритму.

По построению, точка $C$ получена сдвигом точки $B$ на вектор $\vec{PK}$, а точка $D$ — сдвигом точки $A$ на вектор $\vec{PK}$. Следовательно, $\vec{BC} = \vec{PK}$ и $\vec{AD} = \vec{PK}$. Из этого следует, что $\vec{AD} = \vec{BC}$. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $ABCD$ — параллелограмм.

Теперь докажем, что это ромб. Для этого нужно показать, что смежные стороны равны, например, $|AB| = |BC|$.

По построению, $|BC| = |\vec{BC}| = |\vec{PK}|$. Точка $K$ лежит на окружности $\omega_1$ с центром в $P$ и радиусом $|AB|$. Следовательно, расстояние от $P$ до $K$ равно $|AB|$, то есть $|PK| = |AB|$.

Таким образом, $|BC| = |AB|$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Итак, $ABCD$ — ромб.

Проверим, что $K$ действительно середина $CD$. Середина $CD$ — это точка $\frac{C+D}{2}$. Подставим выражения для $C$ и $D$ из построения: $C = B + \vec{PK}$ и $D = A + \vec{PK}$. Середина $CD$ равна $\frac{(B+\vec{PK}) + (A+\vec{PK})}{2} = \frac{A+B}{2} + \vec{PK}$. Так как $P = \frac{A+B}{2}$, то середина $CD$ — это $P + \vec{PK} = K$. Условие выполнено.

Расстояние от $M$ до $K$ равно $r$, так как точка $K$ была выбрана на окружности $\omega_2$ с центром в $M$ и радиусом $r$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения окружностей $\omega_1$ (центр $P$, радиус $R_1 = |AB|$) и $\omega_2$ (центр $M$, радиус $R_2 = r$). Пусть $d = |PM|$ — расстояние между центрами этих окружностей.

• Если $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$, то есть $||AB| - r| < |PM| < |AB| + r$, окружности пересекаются в двух точках. В этом случае задача имеет два решения (два разных ромба).
• Если $d = R_1 + R_2$ или $d = |R_1 - R_2|$ (при $r>0$), то есть $|PM| = |AB| + r$ или $|PM| = ||AB| - r|$, окружности касаются в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
• Если $d > R_1 + R_2$ или $d < |R_1 - R_2|$, то есть $|PM| > |AB| + r$ или $|PM| < ||AB| - r|$, окружности не пересекаются. В этом случае задача не имеет решений.
• Если $A=B$, то $|AB|=0$ и ромб вырождается в точку, задача теряет смысл. Если $r=0$, то $K=M$, и решение существует только если $|PM|=|AB|$.

Ответ: Задача может иметь два, одно или не иметь решений в зависимости от взаимного расположения точек $A, B, M$ и величины заданного расстояния $r$. Количество решений определяется числом точек пересечения окружности с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом $|AB|$ и окружности с центром в точке $M$ и радиусом $r$.