Номер 5.44, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.44. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$.

Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

5.44. Серединный перпендикуляр диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$ так, что $BM : MC = 1 : 2$.

Найдите углы, на которые диагональ прямоугольника делит его угол.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Серединный перпендикуляр к диагонали $AC$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Обозначим точку пересечения серединного перпендикуляра с диагональю $AC$ как $K$. По определению серединного перпендикуляра, $AK = KC$ и перпендикуляр перпендикулярен $AC$.
Ключевое свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $C$. Таким образом, $MA = MC$.
По условию задачи, $BM : MC = 1 : 2$. Давайте введем переменную: пусть $BM = x$, тогда $MC = 2x$.
Так как мы установили, что $MA = MC$, то $MA = 2x$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABM$ — прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Катет $BM = x$
• Гипотенуза $AM = 2x$

Мы видим, что катет $BM$ в два раза меньше гипотенузы $AM$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в $30^\circ$. Значит, угол $\angle BAM = 30^\circ$.
Диагональ $AC$ делит угол $\angle BAD$ прямоугольника на два угла: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Мы знаем, что $\angle BAD = 90^\circ$.
Угол $\angle BAC$ можно найти из треугольника $\triangle ABM$. Угол $\angle AMB$ равен $90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Поскольку $\triangle AMC$ является равнобедренным ($MA=MC$), то углы при его основании $AC$ равны: $\angle MAC = \angle MCA$.
Угол $\angle BMC$ — развернутый, но точка $M$ лежит на прямой $BC$. Угол $\angle AMB = 60^\circ$ является внешним углом для $\triangle AMC$ при вершине $M$ в некотором смысле, но это неверный подход.
Вернемся к прямоугольнику. Мы нашли $\angle BAM = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle BAC$ является частью угла $\angle BAD$.Давайте найдем стороны. В $\triangle ABM$ по теореме Пифагора:$AB^2 + BM^2 = AM^2$$AB^2 + x^2 = (2x)^2$$AB^2 + x^2 = 4x^2$$AB^2 = 3x^2$$AB = x\sqrt{3}$
Сторона $BC = BM + MC = x + 2x = 3x$.
Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ мы можем найти углы, на которые диагональ $AC$ делит угол прямоугольника. Найдем, например, угол $\angle ACB$:$\tan(\angle ACB) = \frac{AB}{BC} = \frac{x\sqrt{3}}{3x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $30^\circ$.Следовательно, $\angle ACB = 30^\circ$.
Диагональ делит прямой угол $\angle BCD = 90^\circ$ на два угла: $\angle ACB$ и $\angle ACD$.Мы нашли $\angle ACB = 30^\circ$.Второй угол равен $\angle ACD = \angle BCD - \angle ACB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, диагональ делит угол прямоугольника на углы $30^\circ$ и $60^\circ$.
Для проверки можно рассмотреть угол $\angle BAD$. Угол $\angle BAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Угол $\angle CAD$ как накрест лежащий с $\angle ACB$ при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$ также равен $30^\circ$. Сумма $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$, что верно.
Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.