Номер 5.39, страница 38 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.39. Вершины $M$ и $K$ равностороннего треугольника $AMK$ принадлежат сторонам $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что $MK \parallel BD$.

5.39. Вершины $M$ и $K$ равностороннего треугольника $AMK$ принадлежат сторонам $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что $MK \parallel BD$.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADK$. В них:

• $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (как углы квадрата $ABCD$).
• $AB = AD$ (как стороны квадрата).
• $AM = AK$ (как стороны равностороннего треугольника $AMK$).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADK$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BM = DK$.

Теперь рассмотрим отрезки $CM$ и $CK$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, а точка $K$ — на стороне $CD$, мы можем записать:
$CM = BC - BM$
$CK = CD - DK$

Так как $BC = CD$ (стороны квадрата) и $BM = DK$ (из доказанного выше), то $CM = CK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CKM$. Угол $\angle C$ в нем прямой ($\angle C = 90^\circ$), а катеты $CM$ и $CK$ равны. Это означает, что $\triangle CKM$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$. Таким образом, $\angle CKM = 45^\circ$.

Рассмотрим диагональ $BD$ квадрата $ABCD$. Диагональ в квадрате является биссектрисой его углов, поэтому она делит угол $\angle ADC$ пополам:
$\angle BDC = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Мы получили, что $\angle CKM = \angle BDC = 45^\circ$. Эти углы являются соответственными при пересечении прямых $MK$ и $BD$ секущей $CD$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны, то есть $MK \parallel BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $MK$ и $BD$ доказана.