Номер 5.32, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.32. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

5.32. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию, его диагонали $AC$ и $BD$ равны и перпендикулярны. То есть, $AC = BD$ и $AC \perp BD$.

Доказательство можно провести в два этапа. Сначала докажем, что из-за одного из условий параллелограмм является ромбом, а затем, что из-за второго условия он является прямоугольником. Фигура, которая является одновременно и ромбом, и прямоугольником, — это квадрат.

1. Докажем, что $ABCD$ — ромб.
Воспользуемся условием перпендикулярности диагоналей: $AC \perp BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $AO = OC$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.

• $AO = OC$ (свойство диагоналей параллелограмма).
• Сторона $BO$ — общая.
• $\angle AOB = \angle COB = 90^{\circ}$ (так как диагонали перпендикулярны).

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство их сторон: $AB = BC$. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), а мы доказали равенство смежных сторон ($AB = BC$), то все четыре стороны параллелограмма равны. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

2. Докажем, что $ABCD$ — прямоугольник.
Теперь воспользуемся условием равенства диагоналей: $AC = BD$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

• Сторона $AD$ — общая.
• $AB = DC$ (как противолежащие стороны параллелограмма).
• $BD = AC$ (по условию).

Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$ по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAD = \angle CDA$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$, то есть $\angle BAD + \angle CDA = 180^{\circ}$. Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$. Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, данный параллелограмм является одновременно и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы прямые). По определению, такой четырехугольник является квадратом.

Ответ: Утверждение доказано.