Номер 5.29, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.29. Точки $M$, $K$, $N$ и $P$ являются соответственно серединами сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $MKNP$ — квадрат.

5.29. Точки $M, K, N$ и $P$ являются соответственно серединами сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $MKNP$ — квадрат.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MKNP является квадратом, необходимо установить два факта: 1) все его стороны равны; 2) все его углы прямые. Достаточно доказать, что все стороны равны (т. е. это ромб) и что один из его углов равен $90^\circ$.

Доказательство равенства сторон

Пусть сторона квадрата ABCD равна $a$. Поскольку точки M, K, N и P являются серединами сторон, то длины отрезков от вершин до этих точек равны половине стороны квадрата:
$AM = MB = BK = KC = CN = ND = DP = PA = a/2$.

Рассмотрим четыре прямоугольных треугольника в углах квадрата: $\triangle PAM$, $\triangle MBK$, $\triangle KCN$ и $\triangle NDP$. Они являются прямоугольными, так как углы A, B, C и D исходного квадрата прямые.

Все эти треугольники равны между собой по двум катетам, так как у каждого из них катеты равны $a/2$. Например, для $\triangle PAM$ катеты $PA = AM = a/2$, а для $\triangle MBK$ катеты $MB = BK = a/2$.

Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз:
$PM = MK = KN = NP$.

Таким образом, все стороны четырёхугольника MKNP равны, что означает, что MKNP — ромб.

Доказательство наличия прямого угла

Теперь докажем, что один из углов ромба MKNP является прямым. Рассмотрим угол $\angle NPM$.

Точки A, P, D лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle APD$ — развёрнутый и составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из трёх углов: $\angle APM$, $\angle NPM$ и $\angle DPN$.

Рассмотрим $\triangle PAM$. Это прямоугольный треугольник с равными катетами ($PA = AM$), следовательно, он равнобедренный. Углы при его основании (гипотенузе) равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Значит, $\angle APM = 45^\circ$.

Аналогично, $\triangle NDP$ — прямоугольный равнобедренный треугольник ($ND = DP$), поэтому $\angle DPN = 45^\circ$.

Теперь мы можем вычислить величину угла $\angle NPM$:
$\angle NPM = \angle APD - \angle APM - \angle DPN = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Поскольку MKNP является ромбом, у которого один из углов прямой, то все его углы прямые. Следовательно, MKNP — квадрат.

Ответ: Что и требовалось доказать, четырёхугольник MKNP является квадратом.