Номер 5.23, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.23. Постройте ромб по диагонали и углу, вершина которого принадлежит этой диагонали.

5.23. Постройте ромб по диагонали и углу, вершина которого принадлежит этой диагонали.

Задача состоит в построении ромба по известной диагонали и углу, вершина которого является одним из концов этой диагонали. Решение задачи включает в себя анализ, описание построения, доказательство и исследование.

Пусть $ABCD$ — искомый ромб, $AC$ — данная диагональ, а $\angle DAB = \alpha$ — данный угол при вершине $A$, принадлежащей этой диагонали.

Одно из ключевых свойств ромба заключается в том, что его диагонали являются биссектрисами его углов. Следовательно, диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам. Это означает, что $\angle BAC = \angle DAC = \frac{\alpha}{2}$.

Также в ромбе противолежащие углы равны, поэтому $\angle BCD = \angle DAB = \alpha$. Диагональ $AC$ также является биссектрисой угла $\angle BCD$, откуда следует, что $\angle BCA = \angle DCA = \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, ромб $ABCD$ состоит из двух равных равнобедренных треугольников $ABC$ и $ADC$ с общим основанием $AC$. Построение ромба сводится к построению этих треугольников. Мы можем построить $\triangle ABC$ по стороне $AC$ и двум прилежащим к ней углам $\angle BAC$ и $\angle BCA$, каждый из которых равен половине данного угла $\alpha$.

Ответ: План построения основан на свойстве диагоналей ромба быть биссектрисами его углов, что позволяет построить два равнобедренных треугольника, образующих ромб, по общей стороне (диагонали) и прилежащим к ней углам.

Пусть нам дан отрезок $d_1$ (диагональ) и угол $\alpha$.

1. С помощью циркуля и линейки построим биссектрису угла $\alpha$, чтобы получить угол, равный $\frac{\alpha}{2}$.
2. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d_1$.
3. В точке $A$ от отрезка $AC$ отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, построив луч $l_1$. (Это делается с помощью стандартной процедуры копирования угла).
4. В точке $C$ от отрезка $CA$ отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, построив луч $m_1$ так, чтобы он лежал в той же полуплоскости относительно прямой $AC$, что и луч $l_1$.
5. Точка пересечения лучей $l_1$ и $m_1$ является третьей вершиной ромба — точкой $B$.
6. Аналогично в другой полуплоскости относительно прямой $AC$: в точке $A$ отложим от отрезка $AC$ угол $\frac{\alpha}{2}$ (луч $l_2$), а в точке $C$ отложим от отрезка $CA$ угол $\frac{\alpha}{2}$ (луч $m_2$).
7. Точка пересечения лучей $l_2$ и $m_2$ является четвертой вершиной ромба — точкой $D$.
8. Соединив последовательно точки $A, B, C$ и $D$, получим искомый ромб $ABCD$.

Ответ: Искомый ромб $ABCD$ построен путём нахождения вершин $B$ и $D$ как точек пересечения лучей, проведённых из концов диагонали $AC$ под углом $\frac{\alpha}{2}$ к ней.

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

1. В треугольнике $ABC$ по построению $\angle BAC = \angle BCA = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AB = BC$.
2. Аналогично, в треугольнике $ADC$ по построению $\angle DAC = \angle DCA = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, треугольник $ADC$ является равнобедренным, и $AD = DC$.
3. Сравним треугольники $ABC$ и $ADC$. У них общая сторона $AC$. Углы, прилежащие к этой стороне, по построению равны: $\angle BAC = \angle DAC = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle BCA = \angle DCA = \frac{\alpha}{2}$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.
5. Объединяя равенства из пунктов 1, 2 и 4, получаем, что все стороны четырехугольника равны: $AB = BC = CD = DA$. Следовательно, $ABCD$ — ромб.
6. Угол при вершине $A$ равен сумме углов: $\angle DAB = \angle DAC + \angle BAC = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.
7. Диагональ $AC$ по построению равна заданному отрезку $d_1$.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом, удовлетворяющим всем условиям задачи.

Ответ: Построенная фигура является ромбом, так как все ее стороны равны, а её угол и диагональ соответствуют заданным, что доказывается на основе равенства построенных треугольников.

Построение возможно тогда и только тогда, когда лучи, построенные на шагах 3-5 и 6-7, пересекаются. Для пересечения лучей $l_1$ и $m_1$ (образующих треугольник $ABC$) необходимо, чтобы сумма углов при основании $AC$ была меньше $180^\circ$.

Сумма этих углов равна $\angle BAC + \angle BCA = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Следовательно, условие существования треугольника, а значит и ромба, — это $\alpha < 180^\circ$. Кроме того, для невырожденного угла должно выполняться условие $\alpha > 0^\circ$.

Таким образом, задача имеет единственное решение при $0 < \alpha < 180^\circ$. Если $\alpha \ge 180^\circ$ или $\alpha \le 0^\circ$, то построение невозможно.

Ответ: Задача имеет единственное решение при условии, что заданный угол $\alpha$ удовлетворяет неравенству $0 < \alpha < 180^\circ$.