Номер 5.16, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.16. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

5.16. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба пополам. Меньшая диагональ ромба равна 4 см. Найдите углы и периметр ромба.

Пусть дан ромб $ABCD$ со стороной $a$. Пусть $\angle B$ — тупой угол. Проведём из вершины $B$ высоту $BH$ к стороне $AD$. По условию, высота делит сторону пополам, то есть точка $H$ является серединой стороны $AD$. Таким образом, $AH = \frac{AD}{2} = \frac{a}{2}$.

Найдите углы ромба

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (так как $BH$ — высота, $\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $AB = a$, а катет $AH = \frac{a}{2}$. Найдём косинус острого угла ромба $\angle A$: $ \cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} $

Из этого следует, что острый угол ромба $\angle A = 60^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому $\angle C = \angle A = 60^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Поэтому тупой угол ромба равен: $ \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ $

Соответственно, $\angle D = \angle B = 120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Найдите периметр ромба

Меньшая диагональ в ромбе лежит напротив острого угла. Рассмотрим диагональ $BD$, которая соединяет вершины $B$ и $D$ и лежит напротив острого угла $\angle A$. Диагональ $BD$ является основанием в треугольнике $\triangle ABD$. В этом треугольнике две стороны равны ($AB = AD = a$), а угол между ними $\angle A = 60^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ является равносторонним.

Это означает, что все его стороны равны: $BD = AB = AD = a$.

По условию задачи, меньшая диагональ равна 4 см. Следовательно, сторона ромба $a = BD = 4$ см.

Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его четырех равных сторон: $ P = 4a $

Подставим значение стороны $a = 4$ см: $ P = 4 \cdot 4 = 16 $ см.

Ответ: периметр ромба равен 16 см.