Номер 5.13, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.13. Точки M и K – соответственно середины сторон AB и BC ромба ABCD. Докажите, что $MD = KD$.

5.13. Точки $M$ и $K$ — соответственно середины сторон $AB$ и $BC$ ромба $ABCD$. Докажите, что $MD = KD$.

Дано:

ABCD — ромб.

M — середина стороны AB.

K — середина стороны BC.

Доказать:

$MD = KD$.

Доказательство:

Для доказательства равенства отрезков MD и KD рассмотрим треугольники $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$.

1. По определению ромба, все его стороны равны, то есть $AB = BC$. Точки M и K являются серединами этих сторон по условию. Следовательно, отрезки $MB$ и $KB$ равны как половины равных сторон:

$MB = \frac{1}{2}AB$

$KB = \frac{1}{2}BC$

Так как $AB = BC$, то $MB = KB$.

2. Сторона BD является общей для треугольников $\triangle MBD$ и $\triangle KBD$.

3. По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ BD делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, следовательно, $\angle MBD = \angle KBD$.

Таким образом, мы имеем два треугольника ($\triangle MBD$ и $\triangle KBD$), у которых:

• $MB = KB$ (по доказанному выше);
• $\angle MBD = \angle KBD$ (по свойству диагонали ромба);
• BD — общая сторона.

Следовательно, $\triangle MBD = \triangle KBD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона MD лежит в $\triangle MBD$ напротив угла $\angle MBD$, а сторона KD лежит в $\triangle KBD$ напротив угла $\angle KBD$. Поскольку эти углы равны, то и противолежащие им стороны равны, то есть $MD = KD$.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $MD = KD$ доказано.