Номер 5.8, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.8. Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

5.8. Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагоналями.

Для построения прямоугольника по заданной диагонали $d$ и углу между диагоналями $α$ воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника: они равны и в точке пересечения делятся пополам.

Анализ

Пусть нам дан отрезок, равный диагонали $d$, и угол $α$. Пусть искомый прямоугольник — $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойствам прямоугольника $AC = BD = d$, а также $AO = OC = BO = OD = d/2$. Угол между диагоналями, например, $∠AOB = α$. Таким образом, задача сводится к построению двух равнобедренных треугольников (например, $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$) с общей вершиной $O$. Вершины прямоугольника $A, B, C, D$ будут лежать на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R = d/2$.

Ответ: Анализ показывает, что задача имеет решение, основанное на свойствах диагоналей прямоугольника.

Построение

Пусть дан отрезок $P_1Q_1$, равный длине диагонали $d$, и угол $X_1Y_1Z_1$, равный углу $α$.

1. 1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$.

2. 2. С помощью циркуля отложим на прямой от точки $A$ отрезок $AC$, равный данному отрезку $P_1Q_1$ (то есть $AC = d$).

3. 3. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Точка пересечения перпендикуляра с отрезком $AC$ будет его серединой — точкой $O$. Эта точка является центром будущего прямоугольника.

4. 4. Построим прямую $m$, проходящую через точку $O$ под углом $α$ к прямой $AC$. Для этого можно построить угол, равный данному углу $X_1Y_1Z_1$, с вершиной в точке $O$ и одной из сторон, лежащей на луче $OA$ (или $OC$). Вторая сторона угла будет лежать на искомой прямой $m$.

5. 5. На прямой $m$ от точки $O$ в обе стороны отложим отрезки, равные половине диагонали, то есть $d/2$ (эту длину можно взять, измерив циркулем расстояние $AO$ или $OC$). Получим точки $B$ и $D$ так, что $BO = OD = d/2$.

6. 6. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C, D$.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$. По построению, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, так как $AO = OC = d/2$ и $BO = OD = d/2$. Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Также по построению диагонали этого параллелограмма равны: $AC = AO + OC = d/2 + d/2 = d$ и $BD = BO + OD = d/2 + d/2 = d$. Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником.

Угол между диагоналями $AC$ и $BD$ по построению равен $α$. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником с заданной длиной диагонали $d$ и заданным углом между диагоналями $α$.

Ответ: Построенная фигура $ABCD$ является прямоугольником с заданными параметрами, что и требовалось доказать.