Номер 5.1, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.1. Диагонали прямоугольника $ABCD$ (рис. 5.14) пересекаются в точке $O$, $\angle ADB = 30^\circ$, $BD = 10$ см. Найдите периметр треугольника $AOB$.

Рис. 5.14

5.1. Диагонали прямоугольника ABCD (рис. 5.14) пересекаются в точке O, $\angle ADB = 30^{\circ}$, $BD = 10 \text{ см}$. Найдите периметр треугольника AOB.

Рис. 5.14

Дано, что $ABCD$ — прямоугольник. Одно из ключевых свойств прямоугольника заключается в том, что его диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$.

Согласно условию задачи, длина диагонали $BD = 10$ см. Так как точка $O$ — середина диагонали $BD$, мы можем найти длины отрезков $AO$ и $BO$:
$AO = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $\angle DAB = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). В этом треугольнике нам даны гипотенуза $BD = 10$ см и острый угол $\angle ADB = 30^\circ$.

Сторона $AB$ является катетом, который лежит напротив угла в $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, противолежащий углу в $30^\circ$, равен половине гипотенузы.
Следовательно, $AB = \frac{1}{2} BD = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $AOB$: $AO = 5$ см, $BO = 5$ см и $AB = 5$ см. Периметр треугольника $AOB$ равен сумме длин его сторон:
$P_{AOB} = AO + BO + AB$
$P_{AOB} = 5 + 5 + 5 = 15$ см.

Ответ: 15 см.