Номер 4.1, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.1. В формулировке теоремы укажите необходимое условие и достаточное условие:

1) если углы смежные, то их сумма равна $180^\circ$;

2) если треугольник равносторонний, то он равнобедренный;

3) если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, то $a \parallel b$;

4) если два треугольника равны, то равны их соответственные углы;

5) если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

4.1. В формулировке теоремы укажите необходимое условие и достаточное условие:

1) если углы смежные, то их сумма равна $180^\circ$;

2) если треугольник равносторонний, то он равнобедренный;

3) если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, то $a \parallel b$;

4) если два треугольника равны, то равны их соответственные углы;

5) если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам.

В любой теореме, сформулированной в виде "если A, то B", утверждение A является достаточным условием для выполнения утверждения B, а утверждение B является необходимым условием для утверждения A. Разберем каждое утверждение:

1) если углы смежные, то их сумма равна 180°

Здесь посылка (условие) — "углы смежные", а заключение — "их сумма равна 180°".

• Достаточное условие: "углы смежные". Если известно, что углы смежные, этого достаточно, чтобы утверждать, что их сумма равна $180^\circ$.
• Необходимое условие: "их сумма равна $180^\circ$". Если углы смежные, то их сумма необходимо (обязательно) будет равна $180^\circ$.

Ответ: Достаточное условие: "углы смежные". Необходимое условие: "их сумма равна $180^\circ$".

2) если треугольник равносторонний, то он равнобедренный

Посылка: "треугольник равносторонний". Заключение: "он равнобедренный".

• Достаточное условие: "треугольник равносторонний". Если треугольник имеет три равные стороны, этого достаточно, чтобы утверждать, что у него есть как минимум две равные стороны (т.е. он равнобедренный).
• Необходимое условие: "он равнобедренный". Для того чтобы треугольник был равносторонним, он необходимо должен быть равнобедренным.

Ответ: Достаточное условие: "треугольник равносторонний". Необходимое условие: "он равнобедренный".

3) если прямые a и b перпендикулярны прямой c, то a || b

Посылка: "прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$". Заключение: "$a \parallel b$".

• Достаточное условие: "прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$". Этого условия достаточно, чтобы сделать вывод о параллельности прямых $a$ и $b$.
• Необходимое условие: "$a \parallel b$". Параллельность прямых $a$ и $b$ является необходимым следствием их перпендикулярности третьей прямой $c$.

Ответ: Достаточное условие: "прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$". Необходимое условие: "$a \parallel b$".

4) если два треугольника равны, то равны их соответственные углы

Посылка: "два треугольника равны". Заключение: "равны их соответственные углы".

• Достаточное условие: "два треугольника равны". Равенства треугольников достаточно для утверждения о равенстве их соответственных углов.
• Необходимое условие: "равны их соответственные углы". Равенство соответственных углов является необходимым свойством равных треугольников.

Ответ: Достаточное условие: "два треугольника равны". Необходимое условие: "равны их соответственные углы".

5) если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам

Посылка: "диаметр перпендикулярен хорде". Заключение: "он делит её пополам".

• Достаточное условие: "диаметр перпендикулярен хорде". Этого условия достаточно, чтобы утверждать, что диаметр делит хорду пополам.
• Необходимое условие: "он делит её пополам". Это свойство является необходимым следствием перпендикулярности диаметра и хорды.

Ответ: Достаточное условие: "диаметр перпендикулярен хорде". Необходимое условие: "он делит её пополам".