Номер 3.26, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.26. Постройте треугольник $ABC$ по медиане $AM$, высотам $BB_1$ и $CC_1$.

3.26. Постройте треугольник $ABC$ по медиане $AM$, высотам $BB_1$ и $CC_1$.

Анализ
Предположим, что треугольник $ABC$ построен. $AM$ — медиана, $BB_1$ и $CC_1$ — высоты. Обозначим длины данных отрезков как $m_a = AM$, $h_b = BB_1$ и $h_c = CC_1$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$.
Рассмотрим свойство точки $M$ относительно сторон $AB$ и $AC$. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MK$ на прямую $AC$ и $ML$ на прямую $AB$.
В треугольнике $CBB_1$ (если он не вырожден) или в трапеции, образованной перпендикулярами из $B$ и $C$ на прямую $AC$, отрезок $MK$ является средней линией. Поскольку перпендикуляр из точки $C$ на прямую $AC$ имеет нулевую длину, а перпендикуляр из точки $B$ на прямую $AC$ — это высота $BB_1$, то длина $MK$ равна половине длины $BB_1$. Таким образом, расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $h_b/2$.
$MK = \frac{BB_1}{2} = \frac{h_b}{2}$.
Аналогично, рассматривая перпендикуляры из точек $B$ и $C$ на прямую $AB$, находим, что расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно половине высоты $CC_1$.
$ML = \frac{CC_1}{2} = \frac{h_c}{2}$.
Таким образом, задача сводится к следующему: даны точки $A$ и $M$. Нужно провести через точку $A$ две прямые (будущие стороны $AB$ и $AC$) так, чтобы расстояние от точки $M$ до одной из них равнялось $h_c/2$, а до другой — $h_b/2$. Эти прямые будут касательными, проведенными из точки $A$ к двум окружностям с центром в точке $M$ и радиусами $h_c/2$ и $h_b/2$.

Построение

1. Строим отрезок $AM$ длиной $m_a$.
2. С центром в точке $M$ строим две окружности: $\omega_1$ радиусом $R_1 = h_b/2$ и $\omega_2$ радиусом $R_2 = h_c/2$.
3. Для построения касательных из точки $A$ к этим окружностям, строим вспомогательную окружность $\omega_3$ на отрезке $AM$ как на диаметре. Для этого находим середину $O$ отрезка $AM$ и проводим окружность с центром $O$ и радиусом $OA$.
4. Находим точки пересечения окружности $\omega_3$ с окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$.
   • Пусть $K$ — одна из точек пересечения $\omega_3$ и $\omega_1$. Прямая $AK$ будет касательной к $\omega_1$. Эта прямая будет содержать сторону $AC$.
   • Пусть $L$ — одна из точек пересечения $\omega_3$ и $\omega_2$. Прямая $AL$ будет касательной к $\omega_2$. Эта прямая будет содержать сторону $AB$.
5. Теперь у нас есть вершина $A$ и прямые, содержащие стороны $AB$ и $AC$. Для нахождения вершин $B$ и $C$ воспользуемся тем, что $M$ — середина $BC$. Построим прямую $l'$, симметричную прямой $AL$ (содержащей сторону $AB$) относительно точки $M$. Для этого можно взять любую точку на $AL$, отразить ее симметрично относительно $M$ и провести через полученную точку прямую, параллельную $AL$.
6. Точка пересечения прямой $l'$ и прямой $AK$ (содержащей сторону $AC$) является вершиной $C$.
7. Проводим луч $CM$ и на его продолжении за точку $M$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $CM$. Точка $B$ будет лежать на прямой $AL$.
8. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство
В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ по построению равен $m_a$. Также по построению ($CM=MB$ и точки $C, M, B$ лежат на одной прямой) точка $M$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, $AM$ — медиана.
Прямая $AC$ (прямая $AK$) по построению является касательной к окружности $\omega_1$ с центром $M$ и радиусом $h_b/2$. Это означает, что расстояние от точки $M$ до прямой $AC$ равно $h_b/2$. Как было показано в анализе, из этого следует, что высота треугольника, опущенная из вершины $B$ на сторону $AC$, равна $h_b$.
Аналогично, прямая $AB$ (прямая $AL$) по построению является касательной к окружности $\omega_2$ с центром $M$ и радиусом $h_c/2$. Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ равно $h_c/2$, следовательно, высота, опущенная из вершины $C$ на сторону $AB$, равна $h_c$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
Ответ: Построенный треугольник является искомым.

Исследование
Задача имеет решение, если возможно выполнить все шаги построения.
1. Построение касательных из точки $A$ к окружностям $\omega_1$ и $\omega_2$ возможно тогда и только тогда, когда точка $A$ не лежит внутри этих окружностей. Это означает, что расстояние $AM$ должно быть не меньше радиусов этих окружностей.
Условия существования решения: $m_a \ge \frac{h_b}{2}$ и $m_a \ge \frac{h_c}{2}$.
2. Проанализируем количество решений.

• Если $m_a < h_b/2$ или $m_a < h_c/2$, то решений нет.
• Если $m_a > h_b/2$ и $m_a > h_c/2$, то окружность $\omega_3$ пересекает каждую из окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ в двух точках. Это дает две возможные прямые для $AC$ (симметричные относительно $AM$) и две возможные прямые для $AB$ (также симметричные относительно $AM$).
  Пусть угол между $AM$ и касательной к $\omega_1$ равен $\alpha = \arcsin\frac{h_b/2}{m_a}$, а угол между $AM$ и касательной к $\omega_2$ равен $\beta = \arcsin\frac{h_c/2}{m_a}$. Угол $\angle BAC$ может быть равен $\alpha + \beta$ (касательные по разные стороны от $AM$) или $|\alpha - \beta|$ (касательные по одну сторону от $AM$).
  • Если $h_b \neq h_c$, то $\alpha \neq \beta$, и мы получаем два неконгруэнтных треугольника.
  • Если $h_b = h_c$, то $\alpha = \beta$. В этом случае $|\alpha - \beta| = 0$, что дает вырожденный треугольник (стороны $AB$ и $AC$ совпадают). Остается только одно решение с углом $\angle BAC = 2\alpha$, и треугольник будет равнобедренным ($AB=AC$).
• Если одно из условий обращается в равенство, например, $m_a = h_b/2$ и $m_a > h_c/2$, то существует только одна касательная из $A$ к $\omega_1$ (прямая $AC$ будет перпендикулярна $AM$), и две касательные к $\omega_2$. Это дает две конгруэнтные конфигурации (симметричные относительно $AM$), то есть одно уникальное решение.
• Если $m_a = h_b/2 = h_c/2$, то обе прямые $AB$ и $AC$ должны быть перпендикулярны $AM$ в точке $A$, то есть они совпадают. Невырожденного треугольника не существует.

Ответ: Задача имеет два решения (два неконгруэнтных треугольника), если $m_a > h_b/2$, $m_a > h_c/2$ и $h_b \neq h_c$. Задача имеет одно решение (с точностью до конгруэнтности), если $m_a > h_b/2$, $m_a > h_c/2$ и $h_b = h_c$, или если одно из неравенств обращается в равенство (например, $m_a = h_b/2$ и $m_a > h_c/2$). В остальных случаях невырожденных решений нет.