Номер 3.28, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.28. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $F$. Отрезок $AF$ пересекает медиану $BD$ в точке $E$ так, что $AE = BC$. Докажите, что $BF = FE$.

3.28. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $F$. Отрезок $AF$ пересекает медиану $BD$ в точке $E$ так, что $AE = BC$. Докажите, что $BF = FE$.

Для доказательства используем метод дополнительного построения.

1. Продлим медиану $BD$ за точку $D$ на ее длину до точки $M$ так, что $BD = DM$. Соединим точку $M$ с точкой $A$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его диагонали $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $D$. По условию, $BD$ — медиана, следовательно, точка $D$ является серединой отрезка $AC$, то есть $AD = DC$. По построению, точка $D$ также является серединой отрезка $BM$, так как $BD = DM$.

3. Поскольку диагонали четырехугольника $ABCM$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны. Таким образом, $AM \parallel BC$ и $AM = BC$.

4. По условию задачи дано, что $AE = BC$. Сопоставляя это с равенством $AM = BC$, полученным в предыдущем пункте, мы заключаем, что $AE = AM$.

5. Равенство $AE = AM$ означает, что треугольник $AEM$ является равнобедренным с основанием $EM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle AEM = \angle AME$.

6. Рассмотрим углы, образованные при пересечении параллельных прямых $AM$ и $BC$ секущими $BM$ и $AF$.

- Поскольку $AM \parallel BC$ (а значит $AM \parallel BF$) и секущая $BM$ пересекает их, то накрест лежащие углы равны: $\angle AME = \angle FBE$ (также известный как $\angle CBD$).

- Углы $\angle AEM$ и $\angle FEB$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle AEM = \angle FEB$.

7. Теперь объединим полученные равенства углов: $\angle FEB = \angle AEM$ (как вертикальные), $\angle AEM = \angle AME$ (из равнобедренного $\triangle AEM$), $\angle AME = \angle FBE$ (как накрест лежащие). Из этой цепочки равенств следует, что $\angle FEB = \angle FBE$.

8. Рассмотрим треугольник $FBE$. В нем два угла оказались равны: $\angle FEB = \angle FBE$. Это означает, что треугольник $FBE$ является равнобедренным с основанием $BE$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Сторона, противолежащая углу $\angle FBE$, — это $FE$. Сторона, противолежащая углу $\angle FEB$, — это $BF$.

Следовательно, $BF = FE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BF = FE$ доказано.