Номер 5.3, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.3. Точка $M$ – середина стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$, $MA \perp MD$, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

5.3. Точка $M$ — середина стороны $BC$ прямоугольника $ABCD$, $MA \perp MD$, периметр прямоугольника равен 36 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$.

По условию, точка $M$ — середина стороны $BC$. Это означает, что $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$. Они являются прямоугольными, так как $\angle B = \angle C = 90^\circ$. В этих треугольниках катет $AB = CD = a$ (как противоположные стороны прямоугольника) и катет $BM = MC = \frac{b}{2}$ (по построению). Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle DCM$ по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны: $AM = DM$.

Это значит, что треугольник $\triangle AMD$ — равнобедренный. По условию, $MA \perp MD$, поэтому $\angle AMD = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle AMD$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\triangle ABM$ и к прямоугольному треугольнику $\triangle AMD$.
Из $\triangle ABM$: $AM^2 = AB^2 + BM^2 = a^2 + (\frac{b}{2})^2$.
Так как $AM = DM$, то $DM^2$ имеет такое же значение.
Из $\triangle AMD$, по теореме Пифагора: $AD^2 = AM^2 + DM^2$.

Подставим известные значения и выражения в уравнение для $\triangle AMD$:
$b^2 = (a^2 + (\frac{b}{2})^2) + (a^2 + (\frac{b}{2})^2)$
$b^2 = 2a^2 + 2 \cdot \frac{b^2}{4}$
$b^2 = 2a^2 + \frac{b^2}{2}$
Вычтем $\frac{b^2}{2}$ из обеих частей уравнения:
$b^2 - \frac{b^2}{2} = 2a^2$
$\frac{b^2}{2} = 2a^2$
$b^2 = 4a^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей (так как длины сторон — положительные величины), получаем:
$b = 2a$
Это означает, что одна сторона прямоугольника в два раза длиннее другой.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 36$ см.
$2(a+b) = 36$
$a+b = 18$

Мы получили систему из двух уравнений: $b = 2a$ и $a+b = 18$.
Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$a + 2a = 18$
$3a = 18$
$a = \frac{18}{3} = 6$ см.
Теперь найдем вторую сторону:
$b = 2a = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 6 см и 12 см.

Ответ: 6 см и 12 см.