Номер 5.9, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.9. Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне.

5.9. Постройте прямоугольник по стороне и углу между диагоналями, противолежащему данной стороне.

Пусть нам дан отрезок $a$ — сторона искомого прямоугольника, и угол $\alpha$ — угол между диагоналями, противолежащий этой стороне.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник. Обозначим $AB = a$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он является равнобедренным, так как $AO = BO$. По условию, угол между диагоналями, противолежащий стороне $AB$, равен $\alpha$. Значит, $\angle AOB = \alpha$.

Углы при основании равнобедренного треугольника $AOB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$ по стороне $AB=a$ и двум прилежащим к ней углам, равным $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Найдя точку $O$ (центр прямоугольника), мы можем легко достроить прямоугольник, найдя вершины $C$ и $D$ как точки, симметричные $A$ и $B$ относительно центра $O$.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AB$, равный данной стороне $a$.
2. Построим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$. Для этого разделим данный угол $\alpha$ пополам с помощью циркуля и линейки (построим его биссектрису).
3. Построим угол, равный $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Для этого в точке $A$ построим перпендикуляр к прямой $AB$, получив прямой угол. Затем отложим от одной из сторон прямого угла (не содержащей отрезок $AB$) внутрь него построенный угол $\frac{\alpha}{2}$. Полученный угол $\angle OAB$ будет равен $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Проведем луч $AO$.
4. Аналогично в точке $B$ построим угол $\angle OBA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ и проведем луч $BO$ в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$.
5. Точка пересечения лучей $AO$ и $BO$ и будет точкой $O$ — центром искомого прямоугольника.
6. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ отложим отрезок $OC$, равный $AO$.
7. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ отложим отрезок $OD$, равный $BO$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Доказательство

По построению, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$ и $BO=OD$). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

В треугольнике $AOB$ углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный, и $AO = BO$.

Так как $AC = AO + OC = 2AO$ и $BD = BO + OD = 2BO$, то из равенства $AO=BO$ следует, что диагонали $AC$ и $BD$ равны.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Сторона $AB$ построена равной $a$. Угол между диагоналями $\angle AOB$ равен $180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - 2 \cdot (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - 180^\circ + \alpha = \alpha$.

Таким образом, построенный прямоугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если лучи $AO$ и $BO$ пересекаются. Это происходит, когда сумма углов $\angle OAB + \angle OBA$ меньше $180^\circ$.

$2 \cdot (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) < 180^\circ \implies 180^\circ - \alpha < 180^\circ \implies -\alpha < 0 \implies \alpha > 0$.

Также, угол $\alpha$ является углом в треугольнике, поэтому он должен быть меньше $180^\circ$.

Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до расположения) решение при условии, что $0 < \alpha < 180^\circ$.

Ответ: Построение описано выше. Оно сводится к построению равнобедренного треугольника $AOB$ по основанию (данная сторона $a$) и прилежащим углам, равным $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Вершины этого треугольника — две вершины ($A, B$) и центр ($O$) искомого прямоугольника. Найдя центр $O$, прямоугольник достраивается путем нахождения вершин $C$ и $D$, симметричных $A$ и $B$ относительно точки $O$.