Номер 5.12, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.12. Найдите периметр ромба ABCD, если $\angle A = 60^{\circ}$, $BD = 9$ см.

5.12. Найдите периметр ромба ABCD, если $\angle A = 60^{\circ}$, $BD = 9 \text{ см.}$

По определению ромба, все его стороны равны. Обозначим сторону ромба $ABCD$ как $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Периметр ромба $P$ равен сумме длин всех его сторон, то есть $P = 4a$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AB = AD = a$, то треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$\angle ABD = \angle ADB$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABD$ имеем:

$\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

По условию задачи $\angle A = 60^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$60^\circ + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ$

$\angle ABD + \angle ADB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Так как $\angle ABD = \angle ADB$, то каждый из этих углов равен:

$\angle ABD = \angle ADB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$

Таким образом, все углы в треугольнике $ABD$ равны $60^\circ$. Это означает, что треугольник $ABD$ — равносторонний.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, $AB = AD = BD$.

По условию $BD = 9$ см, значит, сторона ромба $a$ также равна 9 см:

$a = 9$ см

Теперь найдем периметр ромба:

$P = 4a = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Ответ: 36 см.