Номер 5.19, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его стороны $BC$ и $AD$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $ABFE$.

5.19. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его стороны $BC$ и $AD$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $ABFE$.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник $ABFE$.

1. По определению параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Поскольку точки $F$ и $E$ лежат на отрезках $BC$ и $AD$ соответственно, то отрезки $BF$ и $AE$ также параллельны ($BF \parallel AE$).

2. Рассмотрим треугольник $ABF$. По условию, $AF$ является биссектрисой угла $A$, поэтому $\angle BAF = \angle FAD$. Углы $\angle FAD$ и $\angle BFA$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AF$. Следовательно, $\angle FAD = \angle BFA$. Из равенств $\angle BAF = \angle FAD$ и $\angle FAD = \angle BFA$ следует, что $\angle BAF = \angle BFA$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABF$ – равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BF$.

3. Аналогично рассмотрим треугольник $ABE$. По условию, $BE$ является биссектрисой угла $B$, поэтому $\angle ABE = \angle EBC$. Углы $\angle EBC$ и $\angle AEB$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BE$. Следовательно, $\angle EBC = \angle AEB$. Из этого следует, что $\angle ABE = \angle AEB$. Таким образом, треугольник $ABE$ также является равнобедренным, и $AB = AE$.

4. Из пунктов 2 и 3 мы получили, что $BF = AB$ и $AE = AB$, откуда следует, что $BF = AE$. Ранее мы установили, что $BF \parallel AE$. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. Значит, $ABFE$ – параллелограмм.

Кроме того, у параллелограмма $ABFE$ смежные стороны $AB$ и $AE$ равны (как доказано в п. 3, $AB = AE$). Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: четырёхугольник $ABFE$ является ромбом.