Номер 5.26, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.26. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$ так, что $AK = 2BK$. Найдите угол $KAD$.

5.26. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $K$ так, что $AK = 2BK$. Найдите угол $KAD$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, то все его углы прямые, в частности $\angle B = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABK$ является прямоугольным, где $AK$ - гипотенуза, а $AB$ и $BK$ - катеты.

Для нахождения угла $\angle KAB$ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике. Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle KAB) = \frac{BK}{AK}$

Согласно условию задачи, $AK = 2BK$. Подставим это соотношение в формулу для синуса:
$\sin(\angle KAB) = \frac{BK}{2BK} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle KAB = 30^\circ$.

Поскольку $ABCD$ - квадрат, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Этот угол состоит из двух углов: $\angle KAD$ и $\angle KAB$.
$\angle DAB = \angle KAD + \angle KAB$

Чтобы найти искомый угол $\angle KAD$, вычтем из полного угла при вершине $A$ найденный угол $\angle KAB$:
$\angle KAD = \angle DAB - \angle KAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.