Номер 5.22, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.22. Постройте ромб по высоте и диагонали.

5.22. Постройте ромб по высоте и диагонали.

Для построения ромба по заданной высоте $h$ и диагонали $d$ необходимо, чтобы длина диагонали была не меньше высоты, то есть должно выполняться условие $d \ge h$. Если $d < h$, то построение невозможно.

Пусть искомый ромб — $ABCD$, где $h$ — его высота, а $d$ — длина одной из его диагоналей, например, $AC$. Высота ромба — это расстояние между его параллельными сторонами, например, между $BC$ и $AD$. Таким образом, если мы разместим сторону $BC$ на прямой $l_1$, то сторона $AD$ будет лежать на параллельной ей прямой $l_2$, находящейся на расстоянии $h$ от $l_1$. Вершина $C$ будет лежать на прямой $l_1$, а вершина $A$ — на прямой $l_2$. Расстояние между точками $A$ и $C$ равно $d$. Это позволяет нам определить взаимное расположение вершин $A$ и $C$. Поскольку все стороны ромба равны ($AD = CD$), вершина $D$ должна быть равноудалена от вершин $A$ и $C$. Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Так как вершина $D$ также должна лежать на прямой $l_2$, она является точкой пересечения этой прямой и серединного перпендикуляра к $AC$. После нахождения вершин $A, C$ и $D$ четвертая вершина $B$ строится, используя свойство ромба как параллелограмма.

1. Проведем произвольную прямую $l_1$.
2. Построим прямую $l_2$, параллельную $l_1$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого в произвольной точке $P$ на $l_1$ восставим перпендикуляр, отложим на нем отрезок $PQ$ длиной $h$ и через точку $Q$ проведем прямую $l_2$, параллельную $l_1$.
3. На прямой $l_1$ выберем произвольную точку $C$.
4. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $d$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l_2$ обозначим как $A$. (Если $d=h$, такая точка одна; если $d>h$, таких точек две, и можно выбрать любую из них для построения одного из двух возможных ромбов).
5. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
6. Точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой $l_2$ обозначим как $D$.
7. Для нахождения четвертой вершины $B$ проведем через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $DC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $l_1$ и будет вершиной $B$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

По построению, точки $B$ и $C$ лежат на прямой $l_1$, а точки $A$ и $D$ — на прямой $l_2$. Так как $l_1 \parallel l_2$, то сторона $BC$ параллельна стороне $AD$. Расстояние между этими прямыми равно $h$, значит, высота ромба, проведенная к стороне $AD$ (или $BC$), равна $h$. Длина диагонали $AC$ по построению равна $d$. Точка $D$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AC$, следовательно, $AD = CD$. Четырехугольник $ABCD$ построен так, что $AB \parallel DC$ (шаг 7 построения) и $AD \parallel BC$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AD$ и $CD$ равны, поэтому этот параллелограмм является ромбом. Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения ромба по высоте $h$ и диагонали $d$ (при условии $d \ge h$):
1. Построить две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ на расстоянии $h$ друг от друга.
2. Выбрать на $l_1$ точку $C$ и найти на $l_2$ точку $A$ так, чтобы $AC=d$.
3. Найти точку $D$ как пересечение прямой $l_2$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AC$.
4. Найти точку $B$ как пересечение прямой $l_1$ и прямой, проходящей через $A$ параллельно $DC$.
Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.