Номер 5.21, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.21. Постройте ромб по высоте и углу.

5.21. Постройте ромб по высоте и углу.

Задача состоит в том, чтобы построить ромб, зная его высоту $h$ и один из его углов $\alpha$.

Анализ

Пусть искомый ромб — это $ABCD$ со стороной $a$, высотой $h$ и углом $\angle A = \alpha$. Высота ромба — это перпендикуляр, проведенный из любой вершины к противоположной стороне. Например, если опустить перпендикуляр $BH$ из вершины $B$ на сторону $AD$, то его длина будет равна $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем гипотенуза $AB$ является стороной ромба $a$, катет $BH$ — высотой $h$, а угол $\angle BAH$ равен углу ромба $\alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{h}{a}$. Отсюда мы можем выразить сторону ромба: $a = \frac{h}{\sin(\alpha)}$.

Это соотношение показывает, что сторона ромба однозначно определяется его высотой и углом. План построения будет основан на построении двух параллельных прямых на расстоянии $h$ друг от друга, которые будут содержать противоположные стороны ромба, а затем, с помощью угла $\alpha$, мы найдем вершины ромба.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $m$. Она будет содержать одну из сторон ромба (например, $AD$).
2. Выберем на прямой $m$ произвольную точку $H$ и восставим в этой точке перпендикуляр к прямой $m$.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $HK$, равный заданной высоте $h$.
4. Через точку $K$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $m$. Прямая $n$ будет содержать противоположную сторону ромба (например, $BC$).
5. На прямой $m$ выберем произвольную точку $A$. Это будет первая вершина ромба.
6. С помощью циркуля и линейки построим луч с началом в точке $A$, образующий с прямой $m$ угол, равный данному углу $\alpha$.
7. Точку пересечения этого луча с прямой $n$ обозначим как $B$. Это вторая вершина ромба. Отрезок $AB$ является стороной искомого ромба.
8. Измерим циркулем длину отрезка $AB$. Отложим на прямой $m$ от точки $A$ отрезок $AD$, равный $AB$. Получим третью вершину $D$.
9. Отложим на прямой $n$ от точки $B$ отрезок $BC$, равный $AB$, в том же направлении, в котором откладывали отрезок $AD$. Получим четвертую вершину $C$.
10. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$, $D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

По построению, прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$), и расстояние между ними равно $h$. Вершины $A$ и $D$ лежат на прямой $m$, а вершины $B$ и $C$ — на прямой $n$. Следовательно, стороны $AD$ и $BC$ параллельны.

По построению, длины отрезков равны: $AB = AD = BC$.

Так как в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равны ($AD \parallel BC, AD = BC$), то $ABCD$ является параллелограммом.

В параллелограмме $ABCD$ смежные стороны $AB$ и $AD$ равны по построению. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Угол $\angle DAB$ этого ромба равен $\alpha$ по построению. Высота ромба, как расстояние между параллельными прямыми $m$ и $n$, на которых лежат стороны $AD$ и $BC$, равна $h$ по построению.

Следовательно, построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом с заданной высотой $h$ и углом $\alpha$.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство приведены выше.