Номер 5.28, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.28. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

5.28. В прямоугольном треугольнике через точку пересечения биссектрисы прямого угла и гипотенузы проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что образовавшийся четырёхугольник является квадратом.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $CL$, где $L$ — точка ее пересечения с гипотенузой $AB$. Через точку $L$ проведены прямые $LM$ и $LN$, параллельные катетам $AC$ и $BC$ соответственно ($M \in BC$, $N \in AC$). Рассмотрим образовавшийся четырехугольник $CNLM$.

1. По построению имеем $LM \parallel AC$ (значит, $LM \parallel CN$) и $LN \parallel BC$ (значит, $LN \parallel CM$). Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $CNLM$ — параллелограмм.

2. Угол $\angle NCM$ этого параллелограмма совпадает с прямым углом $\angle C$ треугольника $ABC$. Параллелограмм, имеющий прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, $CNLM$ — прямоугольник.

3. Для доказательства того, что $CNLM$ — квадрат, необходимо показать, что его смежные стороны равны. Так как $CL$ — биссектриса прямого угла $\angle C$, она делит его на два равных угла: $\angle NCL = \angle MCL = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

4. Рассмотрим параллельные прямые $LN$ и $BC$ и секущую $CL$. Накрест лежащие углы при секущей равны, поэтому $\angle NLC = \angle MCL$. Поскольку $\angle MCL = 45^\circ$, то и $\angle NLC = 45^\circ$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CNL$. В нем есть два равных угла: $\angle NCL = 45^\circ$ и $\angle NLC = 45^\circ$. Треугольник с двумя равными углами является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие напротив этих углов, равны: $CN = NL$.

6. Мы установили, что $CNLM$ — это прямоугольник, у которого смежные стороны $CN$ и $NL$ равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.

Следовательно, образовавшийся четырехугольник $CNLM$ является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Образовавшийся четырехугольник является прямоугольником, так как его стороны по построению параллельны катетам и один из его углов прямой. Биссектриса прямого угла отсекает от этого прямоугольника равнобедренный треугольник, из чего следует равенство смежных сторон прямоугольника. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.