Номер 5.31, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.31. В квадрате $ABCD$ отметили точку $M$ так, что треугольник $AMB$ равносторонний. Докажите, что треугольник $CMD$ равнобедренный.

5.31. В квадрате $ABCD$ отметили точку $M$ так, что треугольник $AMB$ равносторонний. Докажите, что треугольник $CMD$ равнобедренный.

По определению квадрата $ABCD$, все его стороны равны и все углы прямые: $AB = BC = CD = DA$ и $\angle DAB = \angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = 90^\circ$.

По условию, треугольник $AMB$ является равносторонним, следовательно, все его стороны равны, и все углы равны $60^\circ$: $AM = MB = AB$ и $\angle MAB = \angle MBA = 60^\circ$.

Чтобы доказать, что треугольник $CMD$ равнобедренный, необходимо показать, что две его стороны равны. Докажем, что $DM = CM$, рассмотрев треугольники $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$.

Сравним эти треугольники. Во-первых, $DA = CB$ как стороны квадрата. Во-вторых, $AM = BM$ как стороны равностороннего треугольника $AMB$. В-третьих, найдем углы $\angle DAM$ и $\angle CBM$. Угол $\angle DAM$ равен разности углов $\angle DAB$ и $\angle MAB$: $\angle DAM = \angle DAB - \angle MAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Аналогично, угол $\angle CBM$ равен разности углов $\angle ABC$ и $\angle MBA$: $\angle CBM = \angle ABC - \angle MBA = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Таким образом, $\angle DAM = \angle CBM$.

Итак, в треугольниках $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$ сторона $DA$ равна стороне $CB$, сторона $AM$ равна стороне $BM$, и угол между ними $\angle DAM$ равен углу $\angle CBM$. Следовательно, треугольники $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны, то есть $DM = CM$.

Поскольку в треугольнике $CMD$ две стороны равны ($DM = CM$), он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $CMD$ является равнобедренным, так как его стороны $CM$ и $DM$ равны. Это следует из равенства треугольников $\triangle DAM$ и $\triangle CBM$, которое доказывается по первому признаку равенства треугольников.