Номер 5.30, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.30. В треугольнике ABC $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 14$ см. Две стороны квадрата CDEF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина E принадлежит гипотенузе AB. Найдите периметр квадрата CDEF.

5.30. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AC = BC = 14$ см. Две стороны квадрата $CDEF$ лежат на катетах треугольника $ABC$, а вершина $E$ принадлежит гипотенузе $AB$. Найдите периметр квадрата $CDEF$.

Пусть $x$ — длина стороны квадрата $CDEF$. Согласно условию, вершины $D$ и $F$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $C$ совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Это означает, что отрезок $CD$ лежит на катете $AC$, а отрезок $CF$ — на катете $BC$. Таким образом, длины сторон квадрата равны $CD = CF = DE = EF = x$.

Поскольку $CDEF$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $CF$, которая лежит на катете $BC$. Следовательно, $DE \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$.
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Так как прямые $DE$ и $BC$ параллельны, а $AC$ — секущая, то соответственные углы $\angle ADE$ и $\angle ACB$ равны. По условию $\angle ACB = 90^\circ$, значит, и $\angle ADE = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle ADE \sim \triangle ABC$).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно. Запишем отношение катетов:
$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Выразим длины этих сторон через известные величины и переменную $x$.
Из условия задачи мы знаем, что $AC = 14$ см и $BC = 14$ см.
Сторона квадрата $DE = x$.
Длина отрезка $AD$ может быть найдена как разность длин $AC$ и $CD$: $AD = AC - CD = 14 - x$.

Подставим эти выражения в пропорцию:
$\frac{14 - x}{14} = \frac{x}{14}$

Так как знаменатели дробей равны, мы можем приравнять их числители:
$14 - x = x$
$14 = 2x$
$x = \frac{14}{2} = 7$ см.

Мы нашли, что длина стороны квадрата равна 7 см. Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4x$:
$P = 4 \cdot 7 = 28$ см.

Ответ: 28 см.