Номер 5.27, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.27. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

5.27. Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям. Докажите, что точки пересечения этих прямых являются вершинами квадрата.

Пусть дан квадрат $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Построим прямые, указанные в условии:

• через вершину $A$ проведем прямую $l_1$, параллельную диагонали $BD$;
• через вершину $B$ проведем прямую $l_2$, параллельную диагонали $AC$;
• через вершину $C$ проведем прямую $l_3$, параллельную диагонали $BD$;
• через вершину $D$ проведем прямую $l_4$, параллельную диагонали $AC$.

Точки пересечения этих прямых образуют новый четырехугольник. Обозначим его вершины как $K, L, M, N$:

• $K$ — точка пересечения прямых, проходящих через $A$ и $D$ ($l_1$ и $l_4$).
• $L$ — точка пересечения прямых, проходящих через $A$ и $B$ ($l_1$ и $l_2$).
• $M$ — точка пересечения прямых, проходящих через $B$ и $C$ ($l_2$ и $l_3$).
• $N$ — точка пересечения прямых, проходящих через $C$ и $D$ ($l_3$ и $l_4$).

Докажем, что четырехугольник $KLMN$ является квадратом. Доказательство разобьем на несколько шагов.

1. Докажем, что KLMN — прямоугольник.

По построению $l_1 \parallel BD$ и $l_3 \parallel BD$, следовательно, прямые $l_1$ и $l_3$ параллельны между собой ($l_1 \parallel l_3$). Стороны $KL$ и $NM$ лежат на этих прямых, значит $KL \parallel NM$.

Аналогично, по построению $l_2 \parallel AC$ и $l_4 \parallel AC$, следовательно, $l_2 \parallel l_4$. Стороны $LM$ и $KN$ лежат на этих прямых, значит $LM \parallel KN$.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника $KLMN$ попарно параллельны, $KLMN$ является параллелограммом.

Теперь найдем угол этого параллелограмма, например, угол $\angle LKN$. Он образован пересечением прямых $l_1$ и $l_4$. По построению $l_1 \parallel BD$ и $l_4 \parallel AC$. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые им соответственно параллельны. Следовательно, угол между $l_1$ и $l_4$ равен углу между диагоналями $AC$ и $BD$ квадрата $ABCD$.

Известно, что диагонали квадрата перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Значит, угол между ними равен $90^\circ$. Отсюда следует, что $\angle LKN = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Таким образом, $KLMN$ — прямоугольник.

2. Докажем, что у прямоугольника KLMN равны смежные стороны.

Рассмотрим четырехугольник $AODK$. Точка $O$ — центр исходного квадрата $ABCD$.

• Сторона $AK$ четырехугольника $AODK$ лежит на прямой $l_1$, которая параллельна диагонали $BD$. Отрезок $OD$ лежит на диагонали $BD$. Значит, $AK \parallel OD$.
• Сторона $DK$ лежит на прямой $l_4$, которая параллельна диагонали $AC$. Отрезок $AO$ лежит на диагонали $AC$. Значит, $DK \parallel AO$.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника $AODK$ параллельны, он является параллелограммом.

В квадрате $ABCD$ диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому $AO = OD$. Параллелограмм $AODK$, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Из этого следует, что все его стороны равны: $AK = KD = DO = OA$.

Аналогично можно доказать, что четырехугольники $AOB L$, $BOCM$ и $CODN$ также являются ромбами.

Из того, что $AOB L$ — ромб, следует, что $AL = AO$.

Сторона $KL$ прямоугольника $KLMN$ состоит из отрезков $KA$ и $AL$, так как точки $K, A, L$ лежат на одной прямой $l_1$. Тогда ее длина равна $KL = KA + AL$. Подставив найденные значения, получим: $KL = AO + AO = 2 \cdot AO$.

Теперь найдем длину смежной стороны $KN$. Она состоит из отрезков $KD$ и $DN$. Из ромба $AODK$ мы знаем, что $KD=DO$. Из ромба $CODN$ следует, что $DN=DO$. Тогда $KN = KD + DN = DO + DO = 2 \cdot DO$.

Так как $AO = DO$ (половины диагоналей квадрата), то и $KL = KN$. Мы доказали, что смежные стороны прямоугольника $KLMN$ равны.

3. Заключение.

Мы установили, что четырехугольник $KLMN$ является прямоугольником и имеет равные смежные стороны. Прямоугольник с равными сторонами является квадратом. Следовательно, $KLMN$ — квадрат.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки пересечения данных прямых являются вершинами квадрата.