Номер 5.24, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.24. Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба.

5.24. Постройте ромб по диагонали и противолежащему ей углу ромба.

Для построения ромба по заданной диагонали $d$ и противолежащему ей углу $\alpha$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах ромба.

Пусть искомый ромб — это $ABCD$, где $AC$ — данная диагональ длиной $d$, а $\angle B$ — данный угол, равный $\alpha$. В ромбе все стороны равны, а противолежащие углы равны, следовательно, $AB = BC = CD = DA$ и $\angle D = \angle B = \alpha$.

Диагональ $AC$ делит ромб на два равных равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, значит, углы при основании $AC$ также равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для $\triangle ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^\circ$. Заменив $\angle B$ на $\alpha$ и $\angle BCA$ на $\angle BAC$, получим: $2 \cdot \angle BAC + \alpha = 180^\circ$.

Отсюда можно выразить величину углов при основании: $\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, задача сводится к построению равнобедренного треугольника $ABC$ по основанию $AC=d$ и двум прилежащим к нему углам, равным $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Вершина $D$ будет симметрична вершине $B$ относительно прямой $AC$.

1. С помощью циркуля и линейки построим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, для чего разделим данный угол $\alpha$ пополам (построим его биссектрису).
2. Построим прямой угол ($90^\circ$).
3. Построим угол $\beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Для этого отложим от одной из сторон прямого угла построенный угол $\frac{\alpha}{2}$ так, чтобы его вторая сторона прошла внутри прямого угла. Оставшаяся часть прямого угла и будет искомым углом $\beta$.
4. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный по длине данной диагонали $d$.
5. В одной полуплоскости относительно прямой $AC$ построим два угла: $\angle CAB = \beta$ с вершиной в точке $A$ и $\angle ACB = \beta$ с вершиной в точке $C$.
6. Лучи, являющиеся сторонами этих углов (не совпадающими с $AC$), пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$. Мы получили треугольник $ABC$.
7. Для нахождения четвертой вершины $D$ построим две дуги окружностей в другой полуплоскости относительно прямой $AC$: одну с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, вторую — с центром в точке $C$ и радиусом $CB$ (который равен $AB$). Точка пересечения этих дуг и будет вершиной $D$.
8. Соединим последовательно точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

В построенном четырехугольнике $ABCD$ треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB=BC$), так как по построению углы при его основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA = \beta$).

Угол $\angle B$ в этом треугольнике равен $180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 2(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - 180^\circ + \alpha = \alpha$.

Вершина $D$ была построена на пересечении окружностей с центрами $A$ и $C$ и радиусами $AB$ и $CB$ соответственно. Следовательно, $AD = AB$ и $CD = CB$. Так как $AB = CB$, то все четыре стороны четырехугольника $ABCD$ равны: $AB=BC=CD=DA$. Это означает, что $ABCD$ — ромб.

Диагональ $AC$ этого ромба по построению равна $d$, а противолежащий ей угол $\angle B$ равен $\alpha$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если данный угол $\alpha$ удовлетворяет условию $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. В этом случае угол $\beta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ будет острым ($0^\circ < \beta < 90^\circ$), и его можно построить. Сумма двух углов при основании треугольника $ABC$ будет $2\beta = 180^\circ - \alpha < 180^\circ$, что гарантирует пересечение лучей, построенных на шаге 6, в единственной точке. Следовательно, при указанном условии задача всегда имеет единственное решение (с точностью до его расположения и ориентации на плоскости).

Ответ: План построения заключается в последовательном выполнении следующих шагов: 1. Построение вспомогательного угла, равного $90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. 2. Построение равнобедренного треугольника по данной диагонали (как основанию) и двум прилежащим к ней углам (равным вспомогательному углу). 3. Построение четвертой вершины ромба как точки, симметричной вершине построенного треугольника относительно его основания.