Номер 5.18, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.18. Отрезок $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведены прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $K$, и прямая, которая параллельна стороне $AB$ и пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Докажите, что $AM \perp DK$.

5.18. Отрезок $AM$ — биссектриса треугольника $ABC$.

Через точку $M$ проведены прямая, которая параллельна стороне $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $K$, и прямая, которая параллельна стороне $AB$ и пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Докажите, что $AM \perp DK$.

Рассмотрим четырехугольник $AKMD$. По условию задачи, прямая, проходящая через точку $M$, параллельна стороне $AC$, следовательно, $MK \parallel AC$. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то $MK \parallel AD$. Аналогично, прямая, проходящая через $M$, параллельна стороне $AB$, следовательно, $MD \parallel AB$. Так как точка $K$ лежит на стороне $AB$, то $MD \parallel AK$.

Поскольку в четырехугольнике $AKMD$ противоположные стороны попарно параллельны ($MK \parallel AD$ и $MD \parallel AK$), то по определению $AKMD$ является параллелограммом.

Отрезок $AM$ является биссектрисой угла $BAC$, поэтому $\angle KAM = \angle DAM$.

Углы $\angle KMA$ и $\angle DAM$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $MK$ и $AC$ и секущей $AM$. Следовательно, $\angle KMA = \angle DAM$.

Из двух предыдущих равенств получаем, что $\angle KAM = \angle KMA$.

Рассмотрим треугольник $AKM$. Так как в нем два угла равны ($\angle KAM = \angle KMA$), то он является равнобедренным с основанием $AM$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AK = KM$.

Таким образом, $AKMD$ — это параллелограмм, у которого смежные стороны $AK$ и $KM$ равны. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.

По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны. Отрезки $AM$ и $DK$ являются диагоналями ромба $AKMD$, следовательно, $AM \perp DK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.