Номер 5.20, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.20. В треугольнике $ABC$ проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы $BD$, который пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $BKDP$.

5.20. В треугольнике $ABC$ проведён серединный перпендикуляр его биссектрисы $BD$, который пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Определите вид четырёхугольника $BKDP$.

По условию задачи, $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит этот угол на два равных угла: $\angle ABD = \angle CBD$.

Пусть прямая $l$ — серединный перпендикуляр к отрезку (биссектрисе) $BD$. Прямая $l$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Из определения серединного перпендикуляра следует, что прямая $KP$ перпендикулярна отрезку $BD$ и проходит через его середину.

Основное свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка, к которому он проведён.

Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, то расстояния от неё до точек $B$ и $D$ равны, то есть $KB = KD$.

Аналогично, поскольку точка $P$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, то $PB = PD$.

Таким образом, у четырёхугольника $BKDP$ есть две пары равных смежных сторон, что делает его дельтоидом (кайтом).

Рассмотрим далее треугольник $\triangle KBP$. Отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle KBP$. Пусть $M$ — точка пересечения $BD$ и $KP$. Так как $KP$ — серединный перпендикуляр к $BD$, то $BD \perp KP$. Следовательно, в треугольнике $\triangle KBP$ биссектриса $BM$ является также и высотой. Треугольник, в котором биссектриса совпадает с высотой, является равнобедренным. Отсюда следует, что $BK = BP$.

Объединим все полученные равенства сторон четырёхугольника $BKDP$:
1. $KB = KD$
2. $PB = PD$
3. $BK = BP$

Из этих равенств следует, что все четыре стороны четырёхугольника равны между собой: $BK = KD = DP = PB$.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Ответ: четырёхугольник $BKDP$ является ромбом.