Номер 5.14, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.14. На сторонах $AB$ и $AD$ ромба $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$ и $AF$ соответственно. Докажите, что $\angle CEF = \angle CFE$.

5.14. На сторонах $AB$ и $AD$ ромба $ABCD$ отложены равные отрезки $AE$ и $AF$ соответственно. Докажите, что $\angle CEF = \angle CFE$.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является ромбом, все его стороны равны:

$AB = BC = CD = DA$.

Также в ромбе равны противолежащие углы:

$\angle B = \angle D$.

По условию задачи на сторонах $AB$ и $AD$ отложены равные отрезки $AE$ и $AF$ соответственно, то есть $AE = AF$.

Рассмотрим отрезки $BE$ и $DF$. Их длины можно найти как разность длин сторон ромба и данных отрезков:

$BE = AB - AE$

$DF = AD - AF$

Так как $AB = AD$ (как стороны ромба) и $AE = AF$ (по условию), то отсюда следует, что $BE = DF$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DCF$. Сравним их:

1. $BC = DC$ (как стороны ромба).

2. $\angle B = \angle D$ (как противолежащие углы ромба).

3. $BE = DF$ (как было доказано выше).

Следовательно, треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DCF$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны стороны $CE$ и $CF$, так как они лежат напротив равных углов $\angle B$ и $\angle D$ соответственно.

$CE = CF$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CEF$. Поскольку две его стороны, $CE$ и $CF$, равны, этот треугольник является равнобедренным с основанием $EF$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Отсюда следует, что:

$\angle CEF = \angle CFE$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CEF = \angle CFE$ доказано.