Номер 5.7, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.7. Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагональю и стороной.

5.7. Постройте прямоугольник по диагонали и углу между диагональю и стороной.

Для построения прямоугольника по заданной диагонали $d$ и углу $\alpha$ между диагональю и стороной, используется метод, основанный на свойствах прямоугольного треугольника.

Анализ

Пусть искомый прямоугольник $ABCD$ построен. Его диагональ $AC$ равна $d$, а угол между этой диагональю и стороной $AD$ равен $\alpha$ ($\angle CAD = \alpha$). В прямоугольнике все углы прямые, следовательно, $\angle ADC = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ADC$ — прямоугольный с гипотенузой $AC$. Известно, что вершина прямого угла прямоугольного треугольника лежит на окружности, построенной на гипотенузе как на диаметре. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ADC$ по его гипотенузе и прилежащему острому углу, а затем к нахождению четвертой вершины $B$.

Построение

Даны отрезок длины $d$ и угол $\alpha$.

1. Провести произвольную прямую и отложить на ней отрезок $AC$, равный $d$.
2. От луча $AC$ построить луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$.
3. Найти точку $O$ — середину отрезка $AC$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к $AC$.
4. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
5. Точка пересечения построенной окружности и луча $AM$ (отличная от $A$) является третьей вершиной прямоугольника. Обозначим ее $D$.
6. Соединить точки $D$ и $C$. Треугольник $ADC$ является прямоугольным, так как вписанный угол $\angle ADC$ опирается на диаметр $AC$.
7. Для нахождения четвертой вершины $B$ необходимо провести прямую через точки $D$ и $O$.
8. На этой прямой отложить от точки $O$ отрезок $OB$, равный отрезку $OD$, так, чтобы точка $O$ стала серединой отрезка $BD$.
9. Последовательно соединить отрезками точки $A, B, C$ и $D$.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам ($AO=OC$ по построению середины, $BO=OD$ по построению симметричной точки). Четырехугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Так как один из углов этого параллелограмма, $\angle ADC$, по построению является прямым (как вписанный угол, опирающийся на диаметр), то параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником. При этом его диагональ $AC$ и угол $\angle CAD$ равны заданным величинам $d$ и $\alpha$ по построению. Следовательно, построенный прямоугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: План построения прямоугольника по заданным диагонали и углу между диагональю и стороной изложен и доказан выше.