Номер 5.6, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

5.6. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

5.6. Докажите, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

По условию задачи, диагонали образуют равные углы с одной из сторон. Без ограничения общности, пусть этой стороной будет $AD$. Тогда, по условию, угол между диагональю $AC$ и стороной $AD$ равен углу между диагональю $BD$ и стороной $AD$. Математически это можно записать так:

$\angle CAD = \angle BDA$.

Рассмотрим треугольник $AOD$, образованный пересечением диагоналей и стороной $AD$. В этом треугольнике углы $\angle OAD$ и $\angle ODA$ являются углами при основании $AD$. Из условия следует, что эти углы равны:

$\angle OAD = \angle ODA$.

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если у треугольника два угла равны, то он является равнобедренным. Следовательно, треугольник $AOD$ — равнобедренный, а его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой:

$AO = OD$.

Одним из основных свойств параллелограмма является то, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что:

$AO = \frac{1}{2}AC$

$OD = \frac{1}{2}BD$

Подставим эти выражения в полученное нами равенство $AO = OD$:

$\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD$

Из этого равенства следует, что длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны:

$AC = BD$.

По одному из признаков прямоугольника, если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Таким образом, доказано, что если диагонали параллелограмма образуют равные углы с одной из его сторон, то он является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.