Номер 4.2, страница 29 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

4.2. Сформулируйте теорему, обратную данной. Полученную пару взаимно обратных теорем замените одной теоремой, используя язык «необходимо — достаточно».

1) Если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от концов отрезка.

2) Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны.

3) Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.

4) Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то треугольник является равнобедренным.

5) Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

6) Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух прямых секущей, равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

7) Если соответственные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

8) Катет, лежащий против угла треугольника, равного $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

9) Если прямая является касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

10) Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

11) Если треугольник равносторонний, то центры его вписанной и описанной окружностей совпадают.

12) Если хорды одной окружности равноудалены от её центра, то они равны.

13) Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то треугольник является равнобедренным.

14) Если две высоты треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

15) Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

4.2. Сформулируйте теорему, обратную данной. Полученную пару взаимно обратных теорем замените одной теоремой, используя язык «необходимо — достаточно».

1) Если точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка, то она равноудалена от концов отрезка.

2) Если треугольник равнобедренный, то два его угла равны.

3) Если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник является равнобедренным.

4) Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, то треугольник является равнобедренным.

5) Если накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

6) Если сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух прямых секущей, равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

7) Если соответственные углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

8) Катет, лежащий против угла треугольника, равного $30^\circ$, равен половине гипотенузы.

9) Если прямая является касательной к окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

10) Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

11) Если треугольник равносторонний, то центры его вписанной и описанной окружностей совпадают.

12) Если хорды одной окружности равноудалены от её центра, то они равны.

13) Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна его стороне, то треугольник является равнобедренным.

14) Если две высоты треугольника равны, то треугольник является равнобедренным.

15) Если в четырёхугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

1)
Обратная теорема: Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Объединенная теорема: Для того чтобы точка была равноудалена от концов отрезка, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала серединному перпендикуляру этого отрезка.
Ответ: Для того чтобы точка была равноудалена от концов отрезка, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала серединному перпендикуляру этого отрезка.

2)
Обратная теорема: Если два угла треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы два его угла были равны.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы два его угла были равны.

3)
Обратная теорема: Если треугольник является равнобедренным, то его медиана, проведенная к основанию, совпадает с высотой.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведенная к одной из его сторон, совпадала с высотой, опущенной на эту же сторону.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы медиана, проведенная к одной из его сторон, совпадала с высотой, опущенной на эту же сторону.

4)
Обратная теорема: Если треугольник является равнобедренным, то его высота, проведенная к основанию, совпадает с биссектрисой угла при вершине.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы высота, проведенная к одной из его сторон, совпадала с биссектрисой противолежащего угла.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы высота, проведенная к одной из его сторон, совпадала с биссектрисой противолежащего угла.

5)
Обратная теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
Объединенная теорема: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых секущей, были равны.
Ответ: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых секущей, были равны.

6)
Обратная теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна $180^\circ$.
Объединенная теорема: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении этих прямых секущей, была равна $180^\circ$.
Ответ: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы сумма односторонних углов, образовавшихся при пересечении этих прямых секущей, была равна $180^\circ$.

7)
Обратная теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
Объединенная теорема: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответственные углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых секущей, были равны.
Ответ: Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы соответственные углы, образовавшиеся при пересечении этих прямых секущей, были равны.

8)
Обратная теорема: Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$.
Объединенная теорема: Для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет был равен половине гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, противолежащий этому катету, был равен $30^\circ$.
Ответ: Для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет был равен половине гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, противолежащий этому катету, был равен $30^\circ$.

9)
Обратная теорема: Если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к окружности.
Объединенная теорема: Для того чтобы прямая, проходящая через точку на окружности, была касательной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.
Ответ: Для того чтобы прямая, проходящая через точку на окружности, была касательной, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.

10)
Обратная теорема: Если прямая является касательной к окружности, то расстояние от центра окружности до этой прямой равно радиусу.
Объединенная теорема: Для того чтобы прямая была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности до этой прямой было равно её радиусу.
Ответ: Для того чтобы прямая была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от центра окружности до этой прямой было равно её радиусу.

11)
Обратная теорема: Если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы центры его вписанной и описанной окружностей совпадали.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо и достаточно, чтобы центры его вписанной и описанной окружностей совпадали.

12)
Обратная теорема: Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от её центра.
Объединенная теорема: Для того чтобы две хорды одной окружности были равны, необходимо и достаточно, чтобы они были равноудалены от её центра.
Ответ: Для того чтобы две хорды одной окружности были равны, необходимо и достаточно, чтобы они были равноудалены от её центра.

13)
Обратная теорема: Если треугольник равнобедренный, то биссектриса его внешнего угла при вершине, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы биссектриса его внешнего угла при одной из вершин была параллельна противолежащей стороне.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы биссектриса его внешнего угла при одной из вершин была параллельна противолежащей стороне.

14)
Обратная теорема: Если треугольник равнобедренный, то его высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.
Объединенная теорема: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы две его высоты были равны.
Ответ: Для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы две его высоты были равны.

15)
Обратная теорема: Если четырёхугольник является параллелограммом, то две его противолежащие стороны равны и параллельны.
Объединенная теорема: Для того чтобы выпуклый четырёхугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы две его противолежащие стороны были равны и параллельны.
Ответ: Для того чтобы выпуклый четырёхугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы две его противолежащие стороны были равны и параллельны.