Номер 3.24, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.24. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых $AN, BK, CP$ и $DM$, — параллелограмм.

3.24. Точки $M, N, K$ и $P$ — середины сторон $AB, BC, CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых $AN, BK, CP$ и $DM$, — параллелограмм.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. $M, N, K, P$ — середины сторон $AB, BC, CD, AD$ соответственно.
Обозначим вершины четырёхугольника, образованного пересечениями прямых $AN, BK, CP, DM$, как $E, F, G, H$. Пусть:
$E$ — точка пересечения $DM$ и $AN$,
$F$ — точка пересечения $AN$ и $BK$,
$G$ — точка пересечения $BK$ и $CP$,
$H$ — точка пересечения $CP$ и $DM$.
Чтобы доказать, что четырёхугольник $EFGH$ является параллелограммом, достаточно показать, что его противолежащие стороны попарно параллельны.

Докажем, что прямые $AN$ и $CP$ параллельны.
Рассмотрим четырёхугольник $ANCP$.
По свойству параллелограмма $ABCD$, его противолежащие стороны параллельны и равны, то есть $AD \parallel BC$ и $AD = BC$.
По условию, $P$ — середина $AD$, а $N$ — середина $BC$. Отсюда следует:
$AP = \frac{1}{2}AD$ и $NC = \frac{1}{2}BC$.
Так как $AD = BC$, то $AP = NC$.
Отрезки $AP$ и $NC$ лежат на параллельных прямых $AD$ и $BC$, значит, они также параллельны: $AP \parallel NC$.
В четырёхугольнике $ANCP$ две противолежащие стороны ($AP$ и $NC$) равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, $ANCP$ является параллелограммом.
Следовательно, другая пара его противолежащих сторон также параллельна: $AN \parallel CP$.

Докажем, что прямые $DM$ и $BK$ параллельны.
Рассмотрим четырёхугольник $MBKD$.
По свойству параллелограмма $ABCD$, $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.
По условию, $M$ — середина $AB$, а $K$ — середина $CD$. Отсюда следует:
$MB = \frac{1}{2}AB$ и $DK = \frac{1}{2}CD$.
Так как $AB = CD$, то $MB = DK$.
Отрезки $MB$ и $DK$ лежат на параллельных прямых $AB$ и $CD$, значит, они также параллельны: $MB \parallel DK$.
В четырёхугольнике $MBKD$ две противолежащие стороны ($MB$ и $DK$) равны и параллельны. Следовательно, $MBKD$ является параллелограммом.
Следовательно, другая пара его противолежащих сторон также параллельна: $DM \parallel BK$.

Докажем, что $EFGH$ — параллелограмм.
Стороны $EF$ и $HG$ искомого четырёхугольника $EFGH$ лежат на прямых $AN$ и $CP$ соответственно. Так как мы доказали, что $AN \parallel CP$, то и отрезки, лежащие на этих прямых, параллельны: $EF \parallel HG$.
Стороны $EH$ и $FG$ четырёхугольника $EFGH$ лежат на прямых $DM$ и $BK$ соответственно. Так как мы доказали, что $DM \parallel BK$, то и отрезки, лежащие на этих прямых, параллельны: $EH \parallel FG$.
В четырёхугольнике $EFGH$ обе пары противолежащих сторон параллельны. По определению, такой четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, вершинами которого являются точки пересечения прямых $AN$, $BK$, $CP$ и $DM$, является параллелограммом.