Номер 3.17, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.17. Докажите, что если $m_1$, $m_2$ и $m_3$ — длины медиан треугольника, $p$ — его полупериметр, то $m_1 + m_2 + m_3 < 2p$.

3.17. Докажите, что если $m_1$, $m_2$ и $m_3$ — длины медиан треугольника, $p$ — его полупериметр, то $m_1 + m_2 + m_3 < 2p$.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Обозначим медианы, проведенные к этим сторонам, как $m_1$, $m_2$ и $m_3$ соответственно. Полупериметр треугольника $p$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Требуется доказать, что $m_1 + m_2 + m_3 < 2p$, что эквивалентно доказательству неравенства $m_1 + m_2 + m_3 < a+b+c$.

Докажем, что каждая медиана треугольника меньше полусуммы сторон, выходящих из той же вершины.

Рассмотрим медиану $m_1$, проведенную к стороне $a$. Пусть вершины треугольника $A$, $B$, $C$, а стороны, противолежащие им, — $a$, $b$, $c$. Пусть медиана $AM_1 = m_1$ проведена из вершины $A$ к середине $M_1$ стороны $BC=a$.

Продолжим медиану $AM_1$ за точку $M_1$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM_1 = M_1D$. Таким образом, $AD = 2m_1$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M_1$. По определению медианы, $BM_1 = M_1C$, а по построению $AM_1 = M_1D$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB = c$ и $BD = AC = b$.

Теперь применим неравенство треугольника к треугольнику $ABD$. Сумма двух его сторон всегда больше третьей стороны:$AD < AB + BD$

Подставим в это неравенство длины сторон, выраженные через стороны и медиану исходного треугольника:$2m_1 < c + b$Отсюда получаем оценку для длины медианы $m_1$:$m_1 < \frac{b+c}{2}$

Проводя аналогичные рассуждения для двух других медиан, $m_2$ и $m_3$, получаем следующие неравенства:$m_2 < \frac{a+c}{2}$$m_3 < \frac{a+b}{2}$

Сложим три полученных неравенства:$m_1 + m_2 + m_3 < \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{a+b}{2}$$m_1 + m_2 + m_3 < \frac{b+c+a+c+a+b}{2}$$m_1 + m_2 + m_3 < \frac{2a+2b+2c}{2}$$m_1 + m_2 + m_3 < a+b+c$

Поскольку полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, то периметр треугольника равен $a+b+c = 2p$.Заменив сумму сторон на $2p$, получаем окончательное неравенство:$m_1 + m_2 + m_3 < 2p$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем построения параллелограмма на основе медианы и двух прилежащих сторон треугольника, применения неравенства треугольника и суммирования полученных результатов для всех трех медиан.