Номер 3.10, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.10. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

3.10. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

По условию, в четырехугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Это означает, что $ABCD$ является трапецией с основаниями $AB$ и $CD$ и боковыми сторонами $AD$ и $BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AD$. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Следовательно:
$ \angle A + \angle D = 180^\circ $

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BC$. Аналогично, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$:
$ \angle B + \angle C = 180^\circ $

В условии задачи также дано, что $ \angle A = \angle C $. Заменим в последнем равенстве $ \angle C $ на равный ему $ \angle A $:
$ \angle B + \angle A = 180^\circ $

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \angle A + \angle D = 180^\circ $
$ \angle A + \angle B = 180^\circ $

Сравнивая левые части этих уравнений, получаем, что $ \angle B = \angle D $.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противоположные углы попарно равны: $ \angle A = \angle C $ (по условию) и $ \angle B = \angle D $ (по доказанному).

Согласно одному из признаков параллелограмма, если в выпуклом четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: параллелограмм.