Номер 3.6, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.6. Точки $E$ и $F$ — соответственно середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

3.6. Точки $E$ и $F$ — соответственно середины сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

Рассмотрим четырёхугольник $AECF$.

По свойству параллелограмма $ABCD$, его противоположные стороны равны и параллельны, то есть $AD = BC$ и $AD \parallel BC$.

Поскольку точка $F$ лежит на стороне $AD$, а точка $E$ — на стороне $BC$, и прямые $AD$ и $BC$ параллельны, то отрезки $AF$ и $EC$ также параллельны: $AF \parallel EC$.

Из условия известно, что $F$ — середина стороны $AD$, следовательно, длина отрезка $AF$ равна половине длины стороны $AD$: $AF = \frac{1}{2}AD$.

Также по условию $E$ — середина стороны $BC$, следовательно, длина отрезка $EC$ равна половине длины стороны $BC$: $EC = \frac{1}{2}BC$.

Так как $AD = BC$, то и их половины равны: $AF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = EC$.

Таким образом, в четырёхугольнике $AECF$ противоположные стороны $AF$ и $EC$ равны ($AF = EC$) и параллельны ($AF \parallel EC$).

По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырёхугольник $AECF$ является параллелограммом.