Номер 3.4, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ — параллелограмм.

3.4. На диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $M$ и $K$ так, что $AM = CK$. Докажите, что четырёхугольник $MBKD$ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма, который гласит: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1. Рассмотрим исходный параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

2. По свойству диагоналей параллелограмма, они делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Из этого следуют равенства:

$AO = OC$ и $BO = OD$.

3. Точки $M$ и $K$ лежат на диагонали $AC$. Рассмотрим равенство $AO = OC$. Мы можем выразить длины этих отрезков через части, на которые их делят точки $M$ и $K$:

$AO = AM + MO$

$OC = OK + CK$

Так как $AO = OC$, то и правые части этих выражений равны:

$AM + MO = OK + CK$

4. По условию задачи нам дано, что $AM = CK$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$CK + MO = OK + CK$

5. Вычтем из обеих частей равенства отрезок $CK$ и получим:

$MO = OK$

Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MK$.

6. Таким образом, мы установили, что диагонали четырехугольника $MBKD$ (это отрезки $MK$ и $BD$) пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую из них пополам ($BO=OD$ и $MO=OK$).

7. Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $MBKD$ является параллелограммом.