Номер 2.47, страница 20 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.47. Точки $M$, $N$ и $K$ — соответственно середины равных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$. Постройте по этим точкам четырёхугольник $ABCD$.

2.47. Точки $M$, $N$ и $K$ — соответственно середины равных сторон $AB$, $BC$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$. Постройте по этим точкам четырёхугольник $ABCD$.

Для построения четырехугольника $ABCD$ по заданным точкам $M, N, K$ необходимо провести анализ, на основе которого будет составлен алгоритм построения.

По условию задачи, точки $M, N, K$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ соответственно. Это означает, что вершины четырехугольника связаны следующими соотношениями центральной симметрии:

• Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно точки $M$.
• Точка $C$ симметрична точке $B$ относительно точки $N$.
• Точка $D$ симметрична точке $C$ относительно точки $K$.

Ключевым условием является равенство длин сторон: $|AB| = |BC| = |CD|$.

Рассмотрим равенство $|AB| = |BC|$. Поскольку $M$ — середина $AB$, то $|AB| = 2|MB|$. Аналогично, поскольку $N$ — середина $BC$, то $|BC| = 2|NB|$. Из равенства сторон следует, что $2|MB| = 2|NB|$, а значит, $|MB| = |NB|$. Это означает, что точка $B$ равноудалена от точек $M$ и $N$. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MN$.

Теперь рассмотрим равенство $|BC| = |CD|$. Поскольку $N$ — середина $BC$, то $|BC| = 2|NC|$. Аналогично, поскольку $K$ — середина $CD$, то $|CD| = 2|KC|$. Из равенства сторон следует, что $2|NC| = 2|KC|$, а значит, $|NC| = |KC|$. Это означает, что точка $C$ равноудалена от точек $N$ и $K$. Таким образом, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $NK$.

Мы установили, что точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $MN$ (назовем его $l_1$), а точка $C$ — на серединном перпендикуляре к $NK$ (назовем его $l_2$). Кроме того, мы знаем, что $N$ — середина $BC$. Это означает, что точка $C$ является образом точки $B$ при центральной симметрии с центром в точке $N$. Обозначим эту симметрию $S_N$. Итак, $C = S_N(B)$.

Поскольку $B \in l_1$, то ее образ при симметрии должен лежать на образе прямой: $S_N(B) \in S_N(l_1)$. Так как $C = S_N(B)$, то $C \in S_N(l_1)$. Прямая $S_N(l_1)$ — это образ прямой $l_1$ при симметрии относительно точки $N$, который мы обозначим $l_1'$.

Таким образом, точка $C$ должна принадлежать обеим прямым: $l_2$ и $l_1'$. Следовательно, точка $C$ является точкой их пересечения. После нахождения точки $C$ остальные вершины легко находятся с помощью симметрий.

На основе проведенного анализа, алгоритм построения четырехугольника $ABCD$ следующий:

1. Соединить точки $M$ и $N$ отрезком. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Обозначим эту прямую $l_1$.
2. Соединить точки $N$ и $K$ отрезком. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $NK$. Обозначим эту прямую $l_2$.
3. Построить прямую $l_1'$, симметричную прямой $l_1$ относительно точки $N$. Для этого:
   • Выбрать произвольную точку $P$ на прямой $l_1$.
   • Построить точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно $N$ (так, что $N$ является серединой отрезка $PP'$).
   • Провести через точку $P'$ прямую $l_1'$, параллельную прямой $l_1$.
4. Найти точку пересечения прямых $l_2$ и $l_1'$. Эта точка является вершиной $C$ искомого четырехугольника. (Если точки $M, N, K$ не лежат на одной прямой, то прямые $l_2$ и $l_1'$ не будут параллельны и пересекутся в единственной точке).
5. Построить вершину $B$ как точку, симметричную вершине $C$ относительно точки $N$.
6. Построить вершину $A$ как точку, симметричную вершине $B$ относительно точки $M$.
7. Построить вершину $D$ как точку, симметричную вершине $C$ относительно точки $K$.
8. Соединить последовательно точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ построен.

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению (шаги 5, 6, 7), точки $M, N, K$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ соответственно.
2. Докажем равенство сторон.
   • По построению, точка $C$ лежит на прямой $l_2$, которая является серединным перпендикуляром к $NK$. Следовательно, $|CN| = |CK|$. Так как $N$ и $K$ — середины сторон $BC$ и $CD$, то $|BC| = 2|CN|$ и $|CD| = 2|CK|$. Отсюда следует, что $|BC| = |CD|$.
   • Точка $C$ лежит на прямой $l_1' = S_N(l_1)$. Это значит, что ее прообраз при симметрии $S_N$, точка $B$, лежит на прямой $l_1$. Прямая $l_1$ — серединный перпендикуляр к $MN$. Следовательно, любая точка на ней, включая $B$, равноудалена от $M$ и $N$: $|BM| = |BN|$. Так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, то $|AB| = 2|BM|$ и $|BC| = 2|BN|$. Отсюда следует, что $|AB| = |BC|$.

Таким образом, мы доказали, что $|AB| = |BC| = |CD|$, и что $M, N, K$ — середины соответствующих сторон. Построение является верным.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Он заключается в нахождении вершины $C$ как точки пересечения двух прямых: серединного перпендикуляра к отрезку $NK$ и прямой, симметричной серединному перпендикуляру к отрезку $MN$ относительно точки $N$. Остальные вершины $B, A, D$ находятся последовательным построением точек, симметричных относительно $N, M, K$.