Номер 2.45, страница 19 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

2.45. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ постройте соответствен-но такие точки $M$ и $K$, чтобы $AM = BK$ и $MK \parallel AC$.

2.45. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ постройте соответственно такие точки $M$ и $K$, чтобы $AM = BK$ и $MK \parallel AC$.

Для решения задачи сначала проведем анализ, который приведет нас к методу построения.Пусть точки $M$ на стороне $AB$ и $K$ на стороне $BC$ являются искомыми. По условию, отрезок $MK$ должен быть параллелен стороне $AC$ ($MK \parallel AC$). Из теоремы о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle MBK$ и $\triangle ABC$) следует, что точки $M$ и $K$ делят стороны $AB$ и $BC$ в одинаковом отношении, считая от общей вершины $B$:$\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC}$Второе условие задачи гласит, что $AM = BK$. Обозначим эту длину как $x$, то есть $AM = BK = x$.Длину стороны $AB$ обозначим как $c$, а длину стороны $BC$ как $a$. Тогда $BM = AB - AM = c - x$.Подставим эти выражения в полученную ранее пропорцию:$\frac{c-x}{c} = \frac{x}{a}$Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти длину искомых отрезков:$a(c-x) = cx$$ac - ax = cx$$ac = ax + cx$$ac = x(a+c)$$x = \frac{ac}{a+c}$Таким образом, задача сводится к построению отрезка длиной $x = \frac{ac}{a+c}$ и последующему расположению точек $M$ и $K$. Пропорция, которая поможет нам в построении, может быть выведена из уравнения $\frac{c-x}{c} = \frac{x}{a}$ или из выражения для $x$: $\frac{x}{a} = \frac{c}{a+c}$. Подставляя $x=BK$, $a=BC$, $c=AB$, получаем: $\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{AB+BC}$. Эта пропорция является ключом к построению.

Построение

1. На луче, продолжающем сторону $AB$ за точку $A$, отложим отрезок $AD$, равный по длине стороне $BC$. В результате получим точку $D$ такую, что $A$ лежит между $B$ и $D$, а длина отрезка $BD$ равна $BA + AD = AB + BC$.
2. Соединим отрезком точки $D$ и $C$.
3. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную отрезку $DC$. Точку пересечения этой прямой со стороной $BC$ обозначим как $K$. Эта точка является одной из искомых.
4. На стороне $AB$, откладывая от точки $A$, построим отрезок $AM$, равный по длине построенному отрезку $BK$. Точка $M$ — вторая искомая точка.

ДоказательствоПроверим, что построенные точки $M$ и $K$ удовлетворяют обоим условиям задачи.Рассмотрим треугольник $BDC$. По построению, прямая $AK$ параллельна его стороне $DC$. По обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), имеем:$\frac{BK}{BC} = \frac{BA}{BD}$Поскольку по построению $BD = AB + BC$, мы можем переписать пропорцию как:$\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{AB+BC}$Из шага 4 построения мы знаем, что $AM = BK$. Таким образом, первое условие $AM=BK$ выполнено.Теперь проверим выполнение второго условия, $MK \parallel AC$. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме о пропорциональных отрезках. Нам необходимо доказать, что $\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC}$.Мы уже установили, что $\frac{BK}{BC} = \frac{AB}{AB+BC}$.Найдем теперь отношение для другой стороны. Длина отрезка $BM$ равна $AB - AM$. Так как $AM=BK$, то $BM = AB - BK$.Используя найденное ранее выражение для $BK = BC \cdot \frac{AB}{AB+BC}$, получаем:$BM = AB - BC \cdot \frac{AB}{AB+BC} = \frac{AB(AB+BC) - AB \cdot BC}{AB+BC} = \frac{AB^2 + AB \cdot BC - AB \cdot BC}{AB+BC} = \frac{AB^2}{AB+BC}$Теперь найдем отношение $\frac{BM}{BA}$:$\frac{BM}{BA} = \frac{AB^2 / (AB+BC)}{AB} = \frac{AB}{AB+BC}$Сравнивая полученные отношения, видим, что:$\frac{BM}{BA} = \frac{BK}{BC} = \frac{AB}{AB+BC}$Поскольку точки $M$ и $K$ делят стороны $AB$ и $BC$ в одинаковом отношении, считая от вершины $B$, то по обратной теореме о пропорциональных отрезках, отрезок $MK$ параллелен стороне $AC$.Оба условия задачи выполнены, следовательно, построение верно.

Ответ: Построение искомых точек $M$ и $K$ выполняется следующим образом: 1) на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ откладывается отрезок $AD=BC$; 2) соединяются точки $D$ и $C$; 3) через точку $A$ проводится прямая, параллельная $DC$, которая пересекает сторону $BC$ в искомой точке $K$; 4) на стороне $AB$ откладывается отрезок $AM=BK$, что дает вторую искомую точку $M$.