Номер 3.2, страница 24 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.2. Четырёхугольники $ABCD$ и $AMKD$ — параллелограммы (рис. 3.9).

Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ — параллелограмм.

Рис. 3.9

3.2. Четырёхугольники $ABCD$ и $AMKD$ — параллелограммы (рис. 3.9).

Докажите, что четырёхугольник $BMKC$ — параллелограмм.

Рис. 3.9

Для доказательства того, что четырехугольник $BMKC$ является параллелограммом, воспользуемся одним из признаков параллелограмма: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажем, что стороны $BC$ и $MK$ четырехугольника $BMKC$ удовлетворяют этому условию.

По условию задачи, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны и равны. Отсюда следует, что сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ и равна ей по длине:
$BC \parallel AD$ и $BC = AD$.

Также по условию, четырехугольник $AMKD$ — параллелограмм. Аналогично, его противолежащие стороны $MK$ и $AD$ параллельны и равны:
$MK \parallel AD$ и $MK = AD$.

Теперь сопоставим полученные результаты. Мы имеем:
1. Так как $BC \parallel AD$ и $MK \parallel AD$, то $BC \parallel MK$ (по свойству транзитивности параллельности прямых: две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой).
2. Так как $BC = AD$ и $MK = AD$, то $BC = MK$.

Таким образом, в четырехугольнике $BMKC$ две противоположные стороны ($BC$ и $MK$) одновременно равны и параллельны. Согласно признаку параллелограмма, это означает, что четырехугольник $BMKC$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.