Номер 3.9, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.9. В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложили отрезок $MK$, равный отрезку $AM$. Докажите, что четырёхугольник $ABKC$ является параллелограммом.

3.9. В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложили отрезок $MK$, равный отрезку $AM$. Докажите, что четырёхугольник $ABKC$ является параллелограммом.

Рассмотрим четырёхугольник $ABKC$. Отрезки $AK$ и $BC$ являются его диагоналями. По условию и построению, точка $M$ является точкой пересечения этих диагоналей.

1. По условию, $AM$ — медиана треугольника $ABC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, отрезки $BM$ и $MC$ равны: $BM = MC$.

2. По условию, на продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложен отрезок $MK$, равный отрезку $AM$. Это означает, что $AM = MK$. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AK$.

Таким образом, диагонали четырёхугольника $ABKC$ пересекаются в точке $M$ и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырёхугольник $ABKC$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.