Номер 3.13, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.13. На рисунке 3.14 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BEC = \angle DFA$. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

Рис. 3.14

3.13. На рисунке 3.14 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $ \angle BEC = \angle DFA $. Докажите, что четырёхугольник $AECF$ — параллелограмм.

Рис. 3.14

Чтобы доказать, что четырехугольник $AECF$ является параллелограммом, мы докажем, что одна пара его противолежащих сторон ($AE$ и $CF$) равна и параллельна.

1. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Так как точка $E$ лежит на стороне $AB$, а точка $F$ — на стороне $CD$, то отрезки $AE$ и $CF$ лежат на параллельных прямых. Следовательно, $AE \parallel CF$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$.

Из свойств параллелограмма $ABCD$ известно, что его противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

$BC = AD$

$\angle B = \angle D$

По условию задачи нам дано, что $\angle BEC = \angle DFA$.

Сравнивая треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$, мы имеем:

• $BC = AD$
• $\angle B = \angle D$
• $\angle BEC = \angle DFA$

Следовательно, треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$ равны по стороне и двум прилежащим углам (AAS). (Так как если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то равны и третьи углы: $\angle BCE = 180^\circ - \angle B - \angle BEC = 180^\circ - \angle D - \angle DFA = \angle DAF$. Тогда треугольники равны по признаку ASA).

3. Из равенства треугольников $\triangle BCE \cong \triangle DAF$ следует равенство их соответствующих сторон, а именно: $BE = DF$.

4. Также из свойств параллелограмма $ABCD$ мы знаем, что $AB = CD$.

Длину стороны $AB$ можно представить как сумму длин отрезков $AE$ и $EB$: $AB = AE + EB$.

Длину стороны $CD$ можно представить как сумму длин отрезков $CF$ и $FD$: $CD = CF + FD$.

Так как $AB = CD$ и $BE = DF$, мы можем составить равенство:

$AE + EB = CF + FD$

$AE + EB = CF + EB$ (поскольку $FD=EB$)

Вычитая $EB$ из обеих частей равенства, получаем:

$AE = CF$

5. Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $AECF$ противолежащие стороны $AE$ и $CF$ параллельны ($AE \parallel CF$) и равны ($AE = CF$). По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырехугольник $AECF$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $AECF$ является параллелограммом.