Номер 3.14, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.14. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ провели перпендикуляры $BM$ и $DK$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

3.14. Из вершин $B$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ провели перпендикуляры $BM$ и $DK$ к диагонали $AC$. Докажите, что четырёхугольник $BKDM$ — параллелограмм.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник BKDM является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Докажем, что стороны BM и DK равны и параллельны.

1. Доказательство параллельности сторон BM и DK.

По условию задачи, из вершин B и D проведены перпендикуляры BM и DK к диагонали AC. Это означает, что $BM \perp AC$ и $DK \perp AC$.
Согласно свойству перпендикулярных прямых, две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны между собой. Следовательно, $BM \parallel DK$.

2. Доказательство равенства сторон BM и DK.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$.

• Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $AB = CD$.
• Так как стороны AB и CD параллелограмма ABCD параллельны ($AB \parallel CD$), то накрест лежащие углы при секущей AC равны: $\angle BAM = \angle DCK$.
• Треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$ являются прямоугольными, так как по условию $BM \perp AC$ и $DK \perp AC$, что означает $\angle BMA = \angle DKC = 90^{\circ}$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CDK$ равны по гипотенузе ($AB = CD$) и острому углу ($\angle BAM = \angle DCK$).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $BM = DK$.

Вывод.

Мы установили, что в четырёхугольнике BKDM противоположные стороны BM и DK одновременно и параллельны ($BM \parallel DK$), и равны ($BM = DK$).
Следовательно, по признаку параллелограмма, четырёхугольник BKDM является параллелограммом.

Ответ: Утверждение доказано.