Номер 3.21, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.21. Отрезок $AM$ — медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.

3.21. Отрезок $AM$ — медиана треугольника $ABC$, $\angle CAM > \angle BAM$. Докажите, что $AB > AC$.

Для доказательства утверждения выполним дополнительное построение. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на отрезок $MD$ такой, что $AM = MD$. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По условию, $AM$ — медиана, следовательно, $M$ является серединой стороны $BC$ ($BM = MC$). По нашему построению, $M$ также является серединой отрезка $AD$.

Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ABDC$ — параллелограмм.

Воспользуемся свойствами параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны: $DB = AC$.
2. Противоположные стороны параллельны: $AC \parallel DB$.

Поскольку прямые $AC$ и $DB$ параллельны, а $AD$ является для них секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle CAM = \angle ADB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Нам дано по условию, что $\angle CAM > \angle BAM$. Заменив $\angle CAM$ на равный ему угол $\angle ADB$, получаем неравенство для углов треугольника $ABD$: $\angle ADB > \angle BAM$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $ABD$ напротив угла $\angle ADB$ лежит сторона $AB$, а напротив угла $\angle BAM$ лежит сторона $DB$.

Так как $\angle ADB > \angle BAM$, то и соответствующие стороны находятся в таком же соотношении: $AB > DB$.

Наконец, используя равенство $DB = AC$, полученное из свойств параллелограмма, заменяем $DB$ в неравенстве и получаем $AB > AC$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $AB > AC$.