Номер 3.20, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.20. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

3.20. Докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

Сформулируем доказываемый признак: Если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим два треугольника $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$, для которых выполняются условия признака.

Дано:

• $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$
• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $AM$ — медиана к стороне $BC$ в $ΔABC$
• $A_1M_1$ — медиана к стороне $B_1C_1$ в $ΔA_1B_1C_1$
• $AM = A_1M_1$

Доказать:

$ΔABC = ΔA_1B_1C_1$

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. На луче $AM$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Соединим точку $D$ с точкой $B$.
2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$, а так как $AM$ — медиана, то $BM = MC$. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABDC$ — параллелограмм (по признаку параллелограмма).
3. Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны, то есть $BD = AC$.
4. Аналогично, в треугольнике $ΔA_1B_1C_1$ продлим медиану $A_1M_1$ и отложим отрезок $M_1D_1 = A_1M_1$. Четырехугольник $A_1B_1D_1C_1$ также является параллелограммом, и, следовательно, $B_1D_1 = A_1C_1$.
5. Теперь рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔA_1B_1D_1$.
   • $AB = A_1B_1$ (по условию).
   • $AD = AM + MD = 2AM$. Аналогично, $A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.
   • $BD = AC$ и $B_1D_1 = A_1C_1$ (из доказанного выше). Так как по условию $AC = A_1C_1$, то $BD = B_1D_1$.
   Следовательно, $ΔABD = ΔA_1B_1D_1$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔA_1B_1D_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $∠BAM = ∠B_1A_1M_1$.
7. Аналогично, можно доказать равенство $ΔACD$ и $ΔA_1C_1D_1$ (так как $AC = A_1C_1$, $CD = AB = A_1B_1 = C_1D_1$ и $AD=A_1D_1$), из которого следует, что $∠CAM = ∠C_1A_1M_1$.
8. Рассмотрим углы $∠BAC$ и $∠B_1A_1C_1$.
   $∠BAC = ∠BAM + ∠CAM$
   $∠B_1A_1C_1 = ∠B_1A_1M_1 + ∠C_1A_1M_1$
   Поскольку $∠BAM = ∠B_1A_1M_1$ и $∠CAM = ∠C_1A_1M_1$, то $∠BAC = ∠B_1A_1C_1$.
9. Теперь сравним исходные треугольники $ΔABC$ и $ΔA_1B_1C_1$.
   • $AB = A_1B_1$ (по условию).
   • $AC = A_1C_1$ (по условию).
   • $∠BAC = ∠B_1A_1C_1$ (из доказанного).
   Следовательно, $ΔABC = ΔA_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан. Если две стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.