Номер 3.23, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.23. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма CDEF проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны CD и EF в точках A и B соответственно, а другая — стороны DE и CF в точках M и K соответственно. Докажите, что четырёхугольник AMBK — параллелограмм.

3.23. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма $CDEF$ проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны $CD$ и $EF$ в точках $A$ и $B$ соответственно, а другая — стороны $DE$ и $CF$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $AMBK$ — параллелограмм.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $CE$ и $DF$ параллелограмма $CDEF$. По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно, $CO = OE$ и $DO = OF$.

Рассмотрим четырехугольник $AMBK$. Его диагонали $AB$ и $MK$ по условию задачи пересекаются в точке $O$. Для того чтобы доказать, что $AMBK$ является параллелограммом, воспользуемся признаком параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Докажем, что $AO = OB$ и $MO = OK$.

Рассмотрим треугольники $\triangle COA$ и $\triangle EOB$. Так как $CDEF$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $CD \parallel EF$. Тогда углы $\angle ACO$ и $\angle BEO$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $CD$, $EF$ и секущей $CE$. Углы $\angle COA$ и $\angle EOB$ равны как вертикальные. Поскольку $CO = OE$, то $\triangle COA \cong \triangle EOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AO = OB$.

Аналогично рассмотрим треугольники $\triangle DOM$ и $\triangle FOK$. Так как $CDEF$ — параллелограмм, его противоположные стороны $DE$ и $CF$ параллельны. Тогда углы $\angle MDO$ и $\angle KFO$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $DE$, $CF$ и секущей $DF$. Углы $\angle DOM$ и $\angle FOK$ равны как вертикальные. Поскольку $DO = OF$, то $\triangle DOM \cong \triangle FOK$ по второму признаку равенства треугольников. Из этого следует, что соответствующие стороны равны: $MO = OK$.

Мы получили, что диагонали четырехугольника $AMBK$ ($AB$ и $MK$) пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO = OB$ и $MO = OK$). Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AMBK$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырехугольник $AMBK$ является параллелограммом.