Вопросы, страница 28 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Из каких двух частей состоит большинство теорем?

2. Приведите примеры из повседневной жизни, когда мы в своих высказываниях пользуемся словами «необходимо» и «достаточно».

3. Формулировка теоремы представлена в виде схемы «если $A$, то $B$». Как называют утверждения $A$ и $B$?

4. Что означает, если в формулировке теоремы присутствуют слова «необходимо и достаточно»?

5. Какую теорему называют критерием?

1. Из каких двух частей состоит большинство теорем?

2. Приведите примеры из повседневной жизни, когда мы в своих высказываниях пользуемся словами «необходимо» и «достаточно».

3. Формулировка теоремы представлена в виде схемы «если $A$, то $B$». Как называют утверждения $A$ и $B$?

4. Что означает, если в формулировке теоремы присутствуют слова «необходимо и достаточно»?

5. Какую теорему называют критерием?

1. Из каких двух частей состоит большинство теорем?

Большинство математических теорем формулируются в виде условного утверждения и состоят из двух основных логических частей:

• Условие (или посылка, гипотеза) — это часть теоремы, которая вводится словом «если» (или подразумевается). В ней описываются исходные данные, предположения или свойства, которые считаются истинными.
• Заключение (или следствие) — это часть теоремы, которая вводится словом «то». В ней утверждается то, что логически следует из условия и что, собственно, и доказывается в теореме.

Например, в теореме «Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3», условием является «сумма цифр числа делится на 3», а заключением — «само число делится на 3».

Ответ: Большинство теорем состоит из двух частей: условия и заключения.

2. Приведите примеры из повседневной жизни, когда мы в своих высказываниях пользуемся словами «необходимо» и «достаточно».

Слова «необходимо» и «достаточно» описывают логические связи между событиями или условиями.

• Необходимо (обязательное, но не всегда достаточное условие):
  • «Чтобы посмотреть фильм в кинотеатре, необходимо иметь билет». Наличие билета обязательно, но само по себе не гарантирует просмотр (например, можно опоздать на сеанс).
  • «Для жизни человеку необходим кислород». Без кислорода жизнь невозможна.
• Достаточно (условие, которое гарантирует результат):
  • «Чтобы сдать экзамен на "отлично", достаточно правильно решить все задания». Выполнение этого условия гарантирует наивысшую оценку.
  • «Чтобы вскипятить воду, достаточно нагреть её до 100°C (при нормальном атмосферном давлении)». Достижение этой температуры является достаточным для кипения.

Ответ: Пример для «необходимо»: чтобы получить водительские права, необходимо достичь совершеннолетия. Пример для «достаточно»: чтобы зажечь лампочку, достаточно замкнуть электрическую цепь, нажав на выключатель.

3. Формулировка теоремы представлена в виде схемы «если A, то B». Как называют утверждения A и B?

В логической структуре теоремы, представленной в виде «если A, то B» (символически $A \implies B$), утверждения A и B имеют специальные названия:

• A — это условие (или посылка, гипотеза) теоремы. Это исходное утверждение, истинность которого мы принимаем за основу.
• B — это заключение (или следствие) теоремы. Это утверждение, истинность которого доказывается на основе условия A.

Ответ: В схеме «если A, то B» утверждение A называют условием теоремы, а утверждение B — заключением теоремы.

4. Что означает, если в формулировке теоремы присутствуют слова «необходимо и достаточно»?

Если в формулировке теоремы присутствуют слова «необходимо и достаточно» (или эквивалентные им «тогда и только тогда, когда»), это означает, что теорема устанавливает равносильность (логическую эквивалентность) двух утверждений, скажем A и B.

Это значит, что верны сразу два утверждения:

1. Прямая теорема: «Если A, то B» ($A \implies B$). Это означает, что A является достаточным условием для B.
2. Обратная теорема: «Если B, то A» ($B \implies A$). Это означает, что A является необходимым условием для B.

Таким образом, утверждения A и B неразрывно связаны: одно истинно тогда и только тогда, когда истинно другое. Символически это записывается как $A \iff B$.

Ответ: Это означает, что верна как прямая теорема (из условия следует заключение), так и обратная теорема (из заключения следует условие), то есть условие и заключение равносильны.

5. Какую теорему называют критерием?

Критерием называют теорему, которая устанавливает необходимое и достаточное условие для некоторого свойства или утверждения. Фактически, это другое название для теоремы, в формулировке которой присутствуют слова «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда, когда».

Критерий даёт чёткий признак, по которому можно однозначно судить о наличии или отсутствии какого-либо свойства.

Например, «Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали пересекались и точкой пересечения делились пополам». Это утверждение является критерием параллелограмма.

Ответ: Критерием называют теорему, которая устанавливает необходимое и достаточное условие для выполнения какого-либо утверждения.