Номер 3.25, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.25. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к другой стороне.

3.25. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к другой стороне.

Пусть нам даны три отрезка, задающие сторону $a$, высоту $h_a$, проведенную к этой стороне, и медиану $m_b$, проведенную к другой стороне. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы $BC = a$, высота $AH = h_a$ (где $H$ — основание высоты на прямой $BC$), и медиана $BM = m_b$ (где $M$ — середина стороны $AC$).

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен.
1. Сторона $BC$ имеет длину $a$.
2. Вершина $A$ удалена от прямой $BC$ на расстояние $h_a$. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это две прямые, параллельные прямой $BC$ и находящиеся на расстоянии $h_a$ от нее.
3. $BM$ — медиана к стороне $AC$, ее длина равна $m_b$. Это означает, что точка $M$ (середина $AC$) находится на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.
4. Рассмотрим ключевое свойство точки $M$. Опустим из точек $A$ и $M$ перпендикуляры $AH$ и $MK$ на прямую $BC$. В прямоугольном треугольнике $AHC$, отрезок $MK$ является средней линией, поскольку $M$ — середина гипотенузы $AC$, и $MK$ параллелен катету $AH$. Следовательно, длина $MK$ равна половине длины $AH$: $MK = \frac{1}{2}AH = \frac{h_a}{2}$.
5. Таким образом, точка $M$ также лежит на прямой, параллельной $BC$ и удаленной от нее на расстояние $\frac{h_a}{2}$.
6. Из пунктов 3 и 5 следует, что точка $M$ является точкой пересечения окружности с центром в $B$ и радиусом $m_b$ и прямой, параллельной $BC$ и отстоящей от нее на расстояние $\frac{h_a}{2}$.
7. Найдя точку $M$, мы можем найти вершину $A$. Так как $M$ — середина $AC$, точка $A$ лежит на луче $CM$, и при этом $CA = 2 \cdot CM$. Вершина $A$ должна также лежать на прямой, параллельной $BC$ и удаленной на $h_a$, что будет выполнено автоматически согласно нашему анализу.
Это рассуждение лежит в основе построения.

1. На произвольной прямой $d$ отложим отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. Построим прямую $l$, параллельную прямой $d$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого можно в любой точке прямой $d$ (например, в $B$) восставить перпендикуляр, отложить на нем отрезок длиной $h_a$ и через его конец провести прямую, параллельную $d$. Вершина $A$ будет лежать на этой прямой $l$.
3. Построим отрезок, равный $\frac{h_a}{2}$ (например, путем деления отрезка $h_a$ пополам с помощью циркуля и линейки).
4. Построим прямую $p$, параллельную прямой $d$ и находящуюся на расстоянии $\frac{h_a}{2}$ от нее (с той же стороны, что и прямая $l$). Середина стороны $AC$, точка $M$, будет лежать на этой прямой $p$.
5. С центром в точке $B$ проведем окружность радиусом $m_b$.
6. Точки пересечения этой окружности с прямой $p$ обозначим $M_1$ и $M_2$ (если они существуют). Выберем одну из них, например $M_1$, в качестве искомой точки $M$.
7. Проведем луч из точки $C$ через точку $M$.
8. На этом луче отложим от точки $C$ отрезок $CA$, равный удвоенной длине отрезка $CM$ ($CA = 2 \cdot CM$). Точка $A$ — искомая третья вершина треугольника.
9. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

В построенном треугольнике $ABC$:
1. Сторона $BC$ по построению равна $a$.
2. Точка $M$ является серединой отрезка $AC$ по построению ($A$ лежит на луче $CM$ и $CA = 2 \cdot CM$). Следовательно, $BM$ — медиана к стороне $AC$. Длина $BM$ равна $m_b$, так как точка $M$ лежит на окружности с центром в $B$ и радиусом $m_b$.
3. Опустим перпендикуляры $AH$ и $MK$ на прямую $BC$. Так как $M$ — середина $AC$ и $MK \parallel AH$, то $MK$ — средняя линия треугольника $AHC$. Значит, $AH = 2 \cdot MK$. По построению, точка $M$ лежит на прямой $p$, удаленной от $BC$ на расстояние $\frac{h_a}{2}$, то есть $MK = \frac{h_a}{2}$. Следовательно, высота $AH = 2 \cdot \frac{h_a}{2} = h_a$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ключевым шагом построения является нахождение точки $M$ как пересечения окружности (центр $B$, радиус $m_b$) и прямой $p$ (параллельной $BC$ на расстоянии $\frac{h_a}{2}$).
Задача имеет решение тогда и только тогда, когда эта окружность и прямая имеют хотя бы одну общую точку. Это возможно, если радиус окружности не меньше расстояния от ее центра до прямой. Расстояние от центра $B$ (лежащего на прямой $d$) до прямой $p$ равно $\frac{h_a}{2}$.
Следовательно, условие существования решения: $m_b \ge \frac{h_a}{2}$.
1. Если $m_b < \frac{h_a}{2}$, окружность и прямая $p$ не пересекаются. Решений нет.
2. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, окружность касается прямой $p$ в одной точке $M$. Этой точке $M$ соответствует единственная вершина $A$. Задача имеет одно решение (с точностью до выбора полуплоскости относительно прямой $BC$).
3. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, окружность пересекает прямую $p$ в двух различных точках $M_1$ и $M_2$. Каждая из этих точек порождает свой треугольник ($A_1BC$ и $A_2BC$). Эти два треугольника, в общем случае, не являются конгруэнтными. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет решение при выполнении условия $m_b \ge \frac{h_a}{2}$. Если $m_b = \frac{h_a}{2}$, решение единственно. Если $m_b > \frac{h_a}{2}$, существует два различных решения.