Номер 3.19, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.19. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

3.19. Докажите признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника.

Сформулируем доказываемый признак: если медиана, выходящая из одной вершины треугольника, и углы, на которые она делит угол при этой вершине, соответственно равны медиане и соответствующим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть $AM$ и $A_1M_1$ — их медианы, проведенные к сторонам $BC$ и $B_1C_1$ соответственно.

По условию задачи имеем:

• $AM = A_1M_1$
• $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$
• $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$

Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину, отложив отрезок $MD = AM$. Соединим точку $D$ с точкой $B$. Аналогичное построение выполним и для второго треугольника: продлим медиану $A_1M_1$ до точки $D_1$ так, что $M_1D_1 = A_1M_1$, и соединим $D_1$ с $B_1$.

Рассмотрим пару треугольников $\triangle AMC$ и $\triangle DMB$. У них:

• $AM = MD$ по построению.
• $CM = MB$ так как $AM$ является медианой.
• $\angle AMC = \angle DMB$ как вертикальные углы.

Таким образом, $\triangle AMC \cong \triangle DMB$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из этого следует, что $AC = DB$ и $\angle CAM = \angle MDB$ (или $\angle BDA$).

Аналогично для второго случая, рассматривая $\triangle A_1M_1C_1$ и $\triangle D_1M_1B_1$, доказываем их равенство ($\triangle A_1M_1C_1 \cong \triangle D_1M_1B_1$ по первому признаку). Отсюда получаем, что $A_1C_1 = D_1B_1$ и $\angle C_1A_1M_1 = \angle M_1D_1B_1$ (или $\angle B_1D_1A_1$).

Теперь сравним вновь образованные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$.

• Сторона $AD = AM + MD = 2AM$. Сторона $A_1D_1 = A_1M_1 + M_1D_1 = 2A_1M_1$. Так как по условию $AM = A_1M_1$, то $AD = A_1D_1$.
• Угол $\angle BAD$ совпадает с $\angle BAM$. Угол $\angle B_1A_1D_1$ совпадает с $\angle B_1A_1M_1$. По условию $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$, значит $\angle BAD = \angle B_1A_1D_1$.
• Угол $\angle BDA$ равен $\angle CAM$ (из равенства $\triangle AMC \cong \triangle DMB$). Угол $\angle B_1D_1A_1$ равен $\angle C_1A_1M_1$ (из равенства $\triangle A_1M_1C_1 \cong \triangle D_1M_1B_1$). По условию $\angle CAM = \angle C_1A_1M_1$, следовательно, $\angle BDA = \angle B_1D_1A_1$.

Таким образом, $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$ и $DB = D_1B_1$.

Возвращаясь к исходным треугольникам, мы имеем:

• $AB = A_1B_1$ (доказано выше).
• Из равенств $AC = DB$ и $A_1C_1 = D_1B_1$, а также $DB = D_1B_1$, следует, что $AC = A_1C_1$.
• $\angle BAC = \angle BAM + \angle CAM$. $\angle B_1A_1C_1 = \angle B_1A_1M_1 + \angle C_1A_1M_1$. По условию, составляющие углы равны, значит $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Что и требовалось доказать.

Ответ: признак равенства треугольников по медиане и углам, на которые она разбивает угол треугольника, доказан.