Номер 3.12, страница 25 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

3.12. На рисунке 3.13 четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $\angle BCP = \angle DAE$. Докажите, что четырёхугольник APCE — параллелограмм.

Рис. 3.13

3.12. На рисунке 3.13 четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BCP = \angle DAE$. Докажите, что четырёхугольник $APCE$ — параллелограмм.

Рис. 3.13

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. Таким образом, $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCP$ и $\triangle DAE$.
1. $BC = AD$ как противолежащие стороны параллелограмма $ABCD$.
2. Так как стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle CBD$ и $\angle ADB$ равны как накрест лежащие углы при секущей $BD$. Следовательно, $\angle CBP = \angle ADE$.
3. По условию задачи, $\angle BCP = \angle DAE$.

Следовательно, треугольники $\triangle BCP$ и $\triangle DAE$ равны по стороне и двум углам (признак AAS). Из равенства треугольников ($\triangle BCP \cong \triangle DAE$) следует равенство их соответствующих сторон: $BP = DE$.

Мы знаем, что $BO = OD$. Отрезок $BO$ можно представить как сумму отрезков $BP$ и $PO$, а отрезок $OD$ — как сумму отрезков $OE$ и $DE$. Получаем равенство:
$BP + PO = OE + DE$.
Так как мы доказали, что $BP = DE$, мы можем вычесть эти равные отрезки из обеих частей равенства:
$BO - BP = OD - DE$
$PO = OE$.

Таким образом, в четырёхугольнике $APCE$ диагонали $AC$ и $PE$ пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую диагональ пополам ($AO = OC$ и $PO = OE$).

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, четырёхугольник $APCE$ — параллелограмм.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник $APCE$ является параллелограммом.